TE UB AKAR PERSAMAAN SATU VARIABEL AKAR PERSAMAAN SATU VARIABEL 1.1 PENDAHULUAN 1.2 METODE BAGI DUA 1.3 METODE POSISI SALAH 1.4 METODE NEWTON-RAPHSON 1.5 METODE ITERASI TITIK TETAP

TE UB 1.1 PENDAHULUAN Akar persamaan Akar adalah nilai Persamaan nol sebuah fungsi y=f(x) Akar Persamaan adl absis titik potong kurva y=f(x) dgn sb.x x0 adl akar pers, jika x diberi nilai x0 pers f(x0)=0 adl benar. X0 y = f(x)

TE UB f(x) = x2 +4x+3 f(x) = 2x + 5 x2=-1 x x x1=-3 x=-2,5 BEBERAPA CONTOH x=-2,5 x1=-3 x f(x) = 2x + 5 - sin x -10 f(x) = cos x – ex x=. . . x1=. . .

TE UB ? AKAR PERSAMAAN DINYATAKAN SEBAGAI TITIK POTONG DUA KURVA e(x- 5) – 5 cos x = 0 dinyatakan sebagai: -6 -4 -2 2 4 6 8 10 y=e(x-5) – 5cos x e(x- 5) = 5 cos x Sukar memprediksi (menggambar Kurva) akar y=e(x- 5)-5cos x ? Masing-masing sisi diambil sbg fungsi: y = e(x- 5) y = 5 cos x -6 -4 -2 2 4 6 8 10 Titik potong kedua kurva merupakan akar persamaan: y=e(x-5) e(x- 5) – 5 cos x = 0 y=5cos x

TEOREMA Jika y=f(x) adalah kontinyu pada sebuah interval dari x=a s/d x=b sedangkan f(a) dan f(b) mempunyai tanda berlawanan, yaitu f(a) f(b) < 0 Maka dalam interval itu sekurang-kurangnya terdapat satu akar.

f(a) dan f(b) berlawanan tanda. Terdapat satu akar persamaan tanda. Terdapat tiga akar persamaan a b f(a) f(b)

f(a) dan f(b) keduanya positif. Terdapat dua akar persamaan Tidak ada akar persamaan a f(a) b f(b)

2 1 3 4 METODE PENCARIAN AKAR Metode Posisi Salah Metode Bagi Dua Newton Raphson 2 1 3 METODE PENCARIAN AKAR Metode Iterasi Titik Tetap 4

1.2 METODE BAGI DUA Interval yang didalamnya ada sebuah akar dibagi menjadi dua sub interval yang sama lebarnya. 2.Kemudian salah satu sub interval yang memuat akar dipilih sbg interval baru. 3.Ulangi langkah 1) dan 2) sampai didapatkan titik bagi/titik tengah xr sebuah interval dapat dianggap sbg akar persamaan yang dicari.

Diagram alir Metode Bagi Dua ya lf(xr) l<ε xl + xu xr = 2 Tetapkan xl, xu dan ε Hitung titik tengah xr Hitung f(xr) lf(xr) l<ε f(xl)f(xr)<0 Tdk xl=xr xu=xr Akar = xr ya Lokasi Akar f(xr) xl xr xu xr = xl + xu 2 f(xr)

1.3 METODE POSISI SALAH y=f(x) B Pers. Garis AB: f(b) x1 x2 x3 a b A f(a) f(x1) Lokasi Akar A

y=f(x) f(b) f(a) b x3 x2 x1 Lokasi Akar a

PROSEDUR PENYELESAIAN: Tetapkan a dan b sedemikian hingga f(a) * f(b) < 0. 2. Hitung x1: 3. Hitung f(x1) 4. Jika f(a)*f(x1) < 0: Jika f(a)*f(x1) > 0:

5. Hitung f(xn+1) 6. Jika Lanjutkan ke langkah 7, sebaliknya jika tidak maka kembali ke langkah 4 7. Akar persamaan adalah: x = xn+1 8. Selesai

2 Contoh soal Cari akar persamaan 2x + 5 - sin x = 0 Penyelesaian: f(x) = 2x + 5 - sin x Ditetapkan a = -3,5 dan b = -2,5 sehingga f(a) = -2,35078 dan f(b) = 0,59847 Perhitungan pertama:

Perhitungan kedua:

Hasil perhitungan untuk x3 dan seterusnya diberikan dalam tabel berikut: -3,5 -2,5 -2,35078 0,59847 -2,70292 0,01889 -2,70928 0,00042 -2,70942 0,00001 a b f(a) f(b) x Jadi, akar persamaan itu adalah x = -2,70942

1.4 METODE NEWTON-RAPHSON x3 x2 x1 x0 Pendekatan awal: x = x0 Garis singgung di A memotong sb x di (x1,0), Grs singgung di A: Garis singgung di B memotong sb x di (x2,0) A(x0,f(x0)) Grs singgung di B Garis singgung di C memotong sb x di (x3,0) B(x1,f(x1)) f(x0) C(x2,f(x2)) f(x1) Rumus Umum: y=f(x) x3 x2 x1 x0

Prosedur Penyelesaian: Tetapkan nilai pendekatan awal x = x0 dan derajat ketelitian ε 2. Hitung nilai fungsi f(x) 3. Jika Lanjutkan ke langkah 6, sebaliknya jika tidak maka lanjutkan ke langkah 4 4. Hitung f/(x)

5. Hitung nilai pendekatan yang baru: dan kembali ke langkah 2 6. Akar persamaan adalah: x = xn 7. Selesai

3 Contoh soal Cari akar pers: 2x + 5 - sin x = 0 dgn metode Newton-Raphson xo= -2.00000 ε= 0.0001 x=xo Hitung f(x) lf(x)l< ε Hitung fl(x) Akar = x ya Tdk 3 Contoh soal Penyelesaian: f(x) = 2x + 5 - sin x fl(x) = 2 – cos x x0 = -2,0 maka f(x0) =1,90930 fl(x0) = 2,41615 x f(x) f'(x) -2,0000 1,90930 2,41615 -2,79022 -0,23627 2,93890 -2,70983 -0,00119 2,90823 -2,70942 0,00000

1.5 METODE ITERASI TITIK TETAP Proses Iterasi y=g(x) y=h(x) atau x=H(y) f(x) = 0 dinyatakan sbg h(x) = g(x) diperoleh dua fungsi: y = g(x) dan y = h(x) y0=g(x0) x1=H(y0) x3=H(y2) y = h(x) dinyatakan sebagai: x = H(y) y2=g(x2) Lokasi akar x2=H(y1) y1=g(x1) Mulai x=x0

xn+1=g(xn) Kondisi khusus: x = H(y) = y yn = g(xn) xn+1= yn y=g(x) x=y

DIVERGEN Pendekatan/perbaikan berturut-turut menjauhi titik potong kedua kurva. x=y y=g(x) y=g(x) x=y

4 Contoh soal Dengan menggunakan metode iterasi satu titik tetap, cari akar persamaan 2x + 5 - sin x = 0 Penyelesaian: Persamaan dinyatakan sebagai Dimulai dengan dengan x0 = 0, berturut-turut diperoleh:

Perhitungan sampai konvergen diberikan dalam tabel berikut: 1 2 3 4 5 Iterasi xi -2,5 -2,79924 -2,66785 -2,72811 -2,70090 6 7 8 9 10 11 Iterasi xi -2,71328 -2,70767 -2,71022 -2,70906 -2,70959 -2,70935 13 14 15 16 Iterasi xi -2,70941 -2,70943 -2,70942

Terdapat beberapa kemungkinan bentuk fungsi yang dapat dibentuk antara lain: