MODUL 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

RUMUS-RUMUS DASAR INTEGRAL

Rumus-rumus Reduksi

PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan fungsi yang belum diketahui, dan atau persamaan itu mungkin juga melibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta.

SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL Solusi persamaan diferensial adalah menentukan suatu fungsi dimana turunnya, dan disubsitutiskan memenuhi persamaan diferensial yang diberikan. Contoh : Apakah, y = e2x, solusi persamaan diferensial, y” – 4y’ + 4y = 0 Dengan cara mensubstitusikan, y=e2x, y’ = 2e2x, dan y’’ = 4e2x pada persamaan dihasilkan, 4e2x - 4(2e2x) + 4e2x = 0 0=0 Jadi 4e2x e2x 4adalah solusi PD. Contoh : Diberikan persamaan diferensial, dy = (4x + 6 cos 2x)dx Dengan cara mengintegralkan diperoleh solusi PD yaitu : Jadi, y= 2x2 + 3 sin 2x + c adalah solusi PD

PD Variabel Terpisah Contoh : Bentuk Umum PD Variabel Terpisah, Tulislah PD menjadi, 2x(2 + 3y2)dx + 3y(1 + x2)dy = 0 ---------------------------(1 + x2)(2 + 3y2) Diperoleh PD, Solusi PD adalah, Contoh : Carilah penyelesaian umum PD, (4x + 6xy2)dx + 3(y + x2y)dy = 0

Soal Latihan PD Variabel Terpisah x(1 + y)dx + y(1 + x) dy = 0 xydx + (x2 – 1)ln y dy = 0 (1 + y2)sin x dx + 2y (1 – cos x)dy= 0 (1 + y) (1 + sin x)dx + y cos x dy = 0 xy dx + (x – 1)(1 + ln y)dy = 0 2(1 + ey)dx + x(1 + x)dy = 0 2xy(1 – y)dx + (x2 – 4)dy = 0 (y2 − 4) dx + x(x – 2)dy = 0 y(1 + x2)dx + 2x(1 + ln y)dy = 0 ex(1 + ey)dx + (1 + ex )e−y dy = 0

PD HOMOGEN Fungsi f(x,y) dikatakan fungsi homogen berderajad n, jika terdapat α, sedemikian sehingga f(αx, αy) = αn f(x,y) Bentuk umum PD : g(x,y)dx + h(x,y)dy = 0 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Kasus 1. Substitusi, y=ux, dy=udx+xdu PD menjadi. [g(1,u)+uh(1,u)]dx + xh(1,u)du=0 Kasus 2. Substitusi, x=vy, dx=vdy + ydv PD menjadi. yg(v,1)dv + [vg(v,1)+h(v,1)]dy=0

Contoh Carilah penyelesaian umum PD,. (4x2 – 3y2)dx + 4xy dy = 0 Jawab Substitusikan, y = ux,dy=udx+xdu ke persamaan , maka dihasilkan : x2(4–3u2)dx + x24u(udx + x du) = 0 (4–3u2)dx + 4u(udx + x du) = 0 (4–3u2+4u2) dx + 4xu du) = 0 Carilah penyelesaian umum, PD, x2ydx – (x3 + y3) dy = 0 Jawab Substitusi, x=vy, dx=vdy+ydv, ke PD diperoleh, v2y3 (vdy +ydv) – y3(v3 + 1)dy = 0 v2(vdy +ydv) – (v3 + 1)dy = 0 v2y dv – dy = 0

Reduksi Persamaan Homogen Kasus khusus PD berbentuk, (ax+by+d)dx + (px+qy+r)dy=0 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Kasus1, d=0,r=0 Jika d=r=0, PD menjadi (ax+by)dx+(px+qy)dy=0 Substitusikan, y=ux,dy=udx+xdu diperoleh, x(a+bu)dx+x(p+qu)(udx+xdu) = 0 atau, [a+(b+p)u+qu2]dx+x(p+qu) du = 0 Contoh : Carilah penyelesaian umum PD, (x + 4y)dx + (4x + 2y)dy = 0 Jawab Substitusi, y=ux,dy=udx+xdu. PD menjadi, x(1+4u)dx + x(4+2u)[udx+xdu] = 0 atau, (1 + 8u + 2u2)dx + x (4 + 2u) du = 0

Kasus 2 aq – bp = 0 Contoh Bila, aq – bp =0 maka berlaku : px + qy = k(ax + by) konstanta tak nol. Substitusikanlah, z = ax + by , dz = adx + bdy diperoleh PD, Contoh Carilah penyelesaian umum PD, (2x+5y + 2)dx+(4x+10y + 3)dy=0 Jawab aq – bp = (2)(10) – (5)(4) = 0. Subsitusi, 4x + 10y = 2(2x + 5y), dan z=2x+5y, dz=2dx+5dy. Maka diperoeh PD

Kasus Ketiga, aq – bp ≠ 0 (ax+by+d)dx + (px+qy+r)dy=0 Substitusi pertama, u=ax+by+d, du=adx+bdy v=px+qy+r, dv=pdx+qdy atau, diperoleh Substitusi kedua, v = uz dan dv = udz + zdu kedalam persamaan homogen, sehingga dihasilkan : u(q–pz)du + u(az – b)(udz+zdu) = 0 [az2 – (b+p)z + q]du + u(az–b)dz = 0

Contoh Carilah penyelesaian umum PD, (2x + 4y + 2)dx + (4x + 3y + 3)dy = 0 Jawab Substitusi pertama u=2x + 4y + 2, v=4x + 3y + 3, Substitusi kedua, v=uz, dv=udz+zdu diperoleh hasil, (3u–4uz)du + (–4u+2uz)(udz+zdu)= 0 u(3–4z)du + u(–4+2z)(udz+zdu) = 0 (3 – 4z – 4z + 2z2)du +(2z – 4)d Diperoleh PD, (3u – 4v)du + (–4u + 2v) dv = 0

Soal-soal Latihan PD Homogen (x2 + y2)dx – xydy = 0 x2y dx + (x3 + y3)dy = 0 y dx – (x−yex/y)dy = 0 y(1 + ey/x) dx + (xey/x+ y) dy = 0 x2(x+3y)dx + (x3+ y3)dy = 0 y(y + xex/y)dx – x2ex/y dy = 0 (3x2y + y3)dx + (x3+ 3xy2)dy = 0 (2x – 3y)dx + (3x – 8y)dy = 0 (2x – 2y + 3)dx + (2x – 8y+4)dy = 0 (2x – y)dx + (x – 6y + 2)dy = 0 (2x + 5y + 2)dx + (5x + 3y – 2)dy = 0 (x – 2y + 3)dx + (2x – 9y – 4)dy = 0

PD Eksak dan Non Eksak Solusi, F(x,y)=c dimana Solusi, F(x,y)=c dimana Persamaan diferensial linier orde satu yang berbentuk, M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 dikatakan sebagai persamaan diferensial eksak jika hanya jika -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Solusi, F(x,y)=c dimana Solusi, F(x,y)=c dimana

Contoh : Contoh : Carilah penyelesaian PD, (1 + yexy) dx +(xexy + 2y) dy = 0 Jawab PD Eksak, karena : Solusi, F(x,y)=C, dimana Contoh : Carilah penyelesaian PD, Jawab PD Eksak, karena : Solusi, F(x,y)=c dimana :

PD Non Eksak dan Faktor Integrasi Persamaan diferensial linier orde satu yang berbentuk, M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 dikatakan sebagai persamaan diferensial non eksak jika hanya jika PD Non eksak diubah menjadi PD eksak dengan mengalikan faktor integrasi u, sehingga PD berbentuk. uM(x,y)dx+uN(x,y)dy = 0 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Kasus Pertama, u = u(x) Faktor integrasi u diberikan oleh, Kasus Kedua, u = u(y) Faktor integrasi u diberikan oleh,

Contoh : Carilah penyelesaian umum PD, (4x3 + x2 – y2)dx + 2xy dy = 0 Jawab PD Eksak or Non eksak PD menjadi, PD Eksak, Solusi PD Eksak, F(x,y) = c, dimana : Faktor Integrasi u Solusi. 2x3 + x2 + y2 = cx

Contoh : Carilah penyelesaian umum PD, Jawab PD Eksak or Non eksak PD Non Eksak Faktor Integrasi u

Solusi PD Eksak, F(x,y)=c dimana : PD menjadi, PD Eksak Solusi PD Eksak, F(x,y)=c dimana :

Soal Latihan PD Eksak Non Eksak (x3 + y2)dx + (2xy − y3)dy = 0 (x + y sin 2x)dx + (sin2 x + 3y2)dy = 0 [2x + y cos(xy)] dx + [x cos(xy) – 2y]dy = 0 (x + y)2 dx + (x2 + 2xy + yey)dy = 0 (xex + yexy)dx + (1 + xexy )dy = 0 (xex − ey)dx + ey(y − x)dy = 0 3x2(y − 1)2dx + 2x3 (y − 1)dy = 0

PD Linier Orde Satu Contoh Persamaan diferensial biasa linier orde satu adalah suatu persamaan yang berbentuk, y′ + P(x)y = Q(x) Tulislah PD menjadi, [P(x)y – Q(x)]dx + dy = 0 Persamaan diatas adalah non eksak faktor integrasinya adalah, Contoh Carilah penyelesaian umum PD, xy′ + (1 – x)y = 4xex ln x Jawab Tulis PD menjadi, Solusi PD adalah,

PD Bernoulli Contoh Carilah pernyelesaian umum PD, Bentuk umum PD Bernoulli, y′ + P(x)y = Q(x)yn Tulislah PD menjadi, yny′ + P(x)y1–n = Q(x) Substitusi, z = y1–n,dan z′=(1–n)y–n y′, PD menjadi z′ + (1 – n)P(x)z = (1 – n)Q(x) PD adalah linier orde satu, Contoh Carilah pernyelesaian umum PD, xy′ + y = y3 x3 ln x Jawab Tulislah PD menjadi, Substitusi, z = y–2, z′=–2y–3 y′, PD menjadi,

PD Bernoulli Contoh Carilah penyelesaian PD, Bentuk umum PD Bernoulli - lain yn–1 y′ + P(x)yn = Q(x) Substitusi, z = yn,dan z′=nyn – 1y′, PD menjadi z′ + n P(x)z = nQ(x) PD adalah linier orde satu, Contoh Carilah penyelesaian PD, Jawab, Substitusi , z = y3,dan z′= 3y2y′, PD menjadi

Reduksi Orde PD Contoh y′′′ – y′′ = xex Bantuk Umum PD adalah, y(n) + P(x)y(n–1) = Q(x) Substitusi, z = y(n–1),dan z′= y(n), PD menjadi z′ + P(x)z = Q(x) PD adalah linier orde satu, Contoh carilah penyelesaian khusus dari, y′′′ – y′′ = xex y(0) = 1, y′(0) = 2 dan y′′(0) = 4 Jawab Substitusi, z = y′′,dan z′= y′′′, PD menjadi, z′ – z = xex Faktor integrasi,

Soal-soal Latihan y′ + y tan x = 2 x cos x y′ – xy = 6xe2x x2 ln x y′ + xy = 1 x y′ + 2 y = 4 ln x sin x y′ + y cos x = sin x – x cos x (1 + x2) y′ + 2xy = x ln x (x – 1) y′ – 2y = x(x − 1)4 (1 + ex)y′ + ex y= xex x ln x y′ + y = x3 ln x 3y′ + y = (1 − 2x)y4 x ln x y′ – y = x3 y2 x y′′′ – y′′ = x4 ln x y′′′ – 2y′′ = x e2x