ALJABAR BOOLEAN DEFINISI : Jika B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner, + dan ., serta sebuah operator uner ‘. Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B, maka TUPEL (B, +, ., ‘) disebut ALJABAR BOOLEAN jika untuk setiap a, b, c  B berlaku aksioma atau postulat Huntington berikut :

Closure : * a + b  B (artinya, hasil operasi + tetap berada dalam B) * a . b  B (artinya, hasil operasi . tetap berada dalam B) Identitas : * a + 0 = a * a . 1 = a Komutatif : * a + b = b + a * a . b = b . a

Distributif : * a . (b + c) = (a . b) + (a . c) * a + ( b . c) = (a + b) . (a + c) Komplemen ‘ : Untuk setiap a  B terdapat elemen unik a’  B sehingga : * a + a’ = 1 * a . a’ = 0 Dimana : Elemen 0 disebut elemen Zero. Elemen 1 disebut elemen Unit.

Contoh : Misalkan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} Adalah pembagi dari 60, tunjukkan cara membentuk B menjadi sebuah aljabar boolean. Penyelesaian : Kaidah operasi untuk operator +, ., dan ‘ didefinisikan a + b = KPK (a, b) = kelipatan persekutuan terkecil a . b = PBB (a, b) = pembagi bersama terbesar a’ = 60 / a

Aljabar Boolean Dua - Nilai Jika B = { 0, 1 }, maka : a b a. b 1 a b a+ b 1 a a’ 1

Buat tabel kebenaran untuk pembuktian bahwa B {1,0} merupakan postulat Huntington. ……. Ekspresi Boolean : Dibentuk dari elemen – elemen B dan / atau peubah – peubah yang dapat dikombinasikan satu sama lain dengan operator +, ., dan ‘; dapat ditulis (B, +, ., ‘). Dimana untuk Aljabar Boolean dua nilai B merupakan himpunan dari {0,1}.

Ekspresi Boolean : Buat tabel kebenaran untuk 3 nilai. Identify : a . (b + c) = (a . b) + (a . c) a + a’b = a + b  a’ + ab = a’ + b a + ( b . c) = (a + b) . (a + c) a’ . (b + c) Prinsip Dualitas, yaitu dengan mengganti : . dengan +, + dengan ., 0 dengan 1, dan 1 dengan 0.

Prinsip Dualitas Beri nilai untuk contoh dia atas dan buktikan. ……. Dua ekspresi Boolean disebut ekivalen, jika keduanya mempunyai sifat sama untuk setip pemberian nilai pada n peubah. Misalnya : a . (b + c) ekivalen dengan (a.b) + (a.c) Prinsip Dualitas Kesamaan (indentity) disebut juga Prinsip Dualitas terjadi jika aksioma kedua pada postulat Huntington diperoleh dari aksioma pertama dengan cara mengganti . dengan +; + dengan .; 0 dengan 1; dan 1 dengan 0.

Hukum – Hukum Aljabar Boolean Hukum Identitas. *) a + 0 = a *) a . 1 = a 2. Hukum Idempoten : *) a + a = a *) a . a = a 3. Hukum Komplemen : *) a + a’ = 1 *) a . a’ = 0 4. Hukum Dominasi : *) a + 0 = 0 *) a + 1 = 1 5. Hukum Involusi : *) ( a’ )’ = a 6. Hukum Penyerapan : *) a + ab = a *) a (a + b) = a

7. Hukum Komutatif : *) a + b = b + a *) a . b = b . a 8. Hukum Asosiatif : *) a + (b + c) = (a + b) + c *) a (b c) = (a b) c 9. Hukum Distributif : *) a + (b c) = (a + b) (a+ c) *) a (b + c) = a b + a c 10. Hukum De Morgan: *) (a + b)’ = a’ b’ *) (a b)’ = a’ + b’ 11. Hukum 0 / 1 : *) 0’ = 1 *) 1’ = 0

Fungsi Boolean (Fungsi Biner): Adalah pemetaan dari B” ke B melalui ekspresi Boolean, ditulis sebagai : ƒ : B”  B Dimana : B” = himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n – tuple) didalam daerah asal B. Contoh : ƒ(x,y,z) = xyz + x’y + y’z Fungsi ƒ memetakan nilai pasang terurut ganda-3 (x, y, z) ke himpunan {0, 1}. Misalkan (1, 0, 1) berarti x = 1, y = 0 dan z = 1; sehingga : ƒ(1,0,1) = 1.0.1 + 1’.0 + 0’.1 = 0 + 0 + 1 = 1

Jika fungsi Boolean dinyatakan dalam tabel kebenaran, maka untuk fungsi Boolean dengan n peubah akan terdapat kombinasi dari nilai peubahnya sebanyak 2n baris. Cara praktis dalam membuat kombinasi tersebut adalah : Misal n = 3, maka 23 = 8 baris tabel. Untuk peubah pertama, isi 4 baris pada kolom pertama dengan 0 berturut – turut dan 4 baris berikutnya dengan 1. Untuk peubah kedua, isi 2 baris pada kolom kedua dengan 0 dan 2 baris berikutnya dengan 1 selanjutnya ulangi untuk 2 baris berikutnya. Untuk peubah ketiga secara berselang – seling dengan 0 dan 1.

METODE PENYEDERHANAAN RANGKAIAN LOGIKA Penyederhanaan Secara Aljabar Peta Karnaugh Tabulasi (Quine Mc.Kluskey)

Aljabar Boolean Aljabar Boolean adalah aljabar yang menangani persoalan-persoalan logika. Aljabar Boolean menggunakan beberapa hukum yang sama seperti aljabar biasa untuk fungsi OR (Y = A+B) adalah Boolean penambahan untuk fungsi AND (Y = A.B) adalah Boolean perkalian

Hukum Aljabar Boolean Hukum Pertukaran (Komutatif) a). Penambahan: A+B = B+A b). Perkalian: A.B = B.A Hukum ini menyebabkan beberapa variabel OR atau AND tidak menjadi masalah. Hukum Asosiatif a). Penambahan: A+(B+C) = (A+B)+C b). Perkalian: A.(B.C) = (A.B).C Hukum ini menyebabkan penggabungan beberapa variabel OR atau AND bersamaan tidak menjadi masalah.

(Lanjutan) Hukum Aljabar Boolean Hukum Distributif a). A.(B+C) = AB+AC Pembuktian :

(Lanjutan) Hukum Aljabar Boolean (Lanjutan) Hukum Distributif b). (A+B)(C+D) = AC+AD+BC+BD Hukum ini menampilkan metode untuk mengembangkan persamaan yang mengandung OR dan AND. Tiga hukum ini mempunyai kebenaran untuk beberapa bilangan variabel. Hukum penambahan dapat dipakai pada Y = A+BC+D untuk bentuk persamaan Y = BC+A+D.

Teorema De Morgan Teorema lain yang digunakan dalam gerbang digital adalah teorema de Morgan. Teorema de Morgan dapat dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut : rumus ini berlaku pula untuk tiga variabel atau lebih

Hukum dan Peraturan Aljabar Boolean

Persamaan Keluaran Y=A+B Y=A+B = A.B = A.B Dari persamaan keluaran, dapat ditulis sebagai berikut Y=A.B= A.B = A+B, maka rangkaian logikanya dapat dibentuk menjadi sebagai berikut : Pembahasan : A B Y = A.B A B Y=A+B Y=A+B = A.B = A.B

Persamaan Keluaran Y=A.B = A+B = A+B Dari persamaan keluaran, dapat ditulis sebagai berikut Y=A+B= A+B=A.B, sehingga rangkaian logikanya dapat dibentuk menjadi sebagai berikut : Pembahasan : B A Y = A.B A B A B Y=A.B = A+B = A+B

Penyederhanaan Secara Aljabar Tahap minimalisasi rangkaian logika agar efektif dan efisiensi Rangkaian dengan jumlah gerbang yang sedikit akan lebih murah harganya, dan tata letak komponen lebih sederhana. Salah satu cara untuk meminimalkannya adalah dengan menggunakan aljabar Boole.

Contoh : 1. Sehingga rangkaian di atas bisa disederhanakan menjadi :

Cont.. 2.

Rangkaian hasil penyederhanaan :

Soal Latihan : Sederhanakanlah rangkaian di bawah ini : 1. 2. 3.

Fungsi Boolean f(x,y,z) = xyz’, Nyatakan h dalam tabel kebenaran 1

f(x,y,z) = 1 0 +0 + 0 = 0 1 + 0 + 0 = 1 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 X Y Z x’ Dua buah fungsi yang ekspresi Booleannya berbeda dapat menyatakan dua buah fungsi yang sama jika hasilnya sama. f(x,y,z) = x’y’z + x’yz + xy’ g(x,y,z) = x’z + xy’ X Y Z x’ Y’ f(x,y,z) = x’y’z + x’yz + xy’ g(x,y,z) = x’z + xy’ 1 0 +0 + 0 = 0 1 + 0 + 0 = 1 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1

Penjumlahan dan Perkalian Dua Fungsi Misalkan f dan g adalah dua buah fungsi Boolean dengan n peubah, maka penjumlahan f + g didefinisikan sebagai : (f + g)(x1 + x2 + …. + xn) = f(x1 + x2 + …. + xn) + g(x1 + x2 + …. + xn). Sedangkan perkalian f.g didefinisikan sebagai : (f.g) (x1 + x2 + …. + xn) = f(x1 + x2 + …. + xn) g(x1 + x2 + …. + xn).

Contoh : f(x,y) = xy’ + y dan g(x,y) = x’ + y’, maka : h(x,y) = f + g = xy’ + y + x’ + y’ Jika disederhanakan menjadi : h(x,y) = xy’ + x’ + (y + y’) = xy’ + x’ + 1 = 1 Dan i(x,y) = fg = (xy’ + y)(x’ + y’)  (x + y)(x’ + y’)

Komplemen Fungsi Fungsi komplemen berguna saat melakukan penyederhaaan fungsi Boolean. Fungsi Komplemen dari suatu fungsi f  f’ dapat dicari dengan cara : 1. Hukum De Morgan. untuk 2 peubah, x1 dan x2, adalah : (x1 + x2)’ = x1’ x2’  dualnya (x1. x2)’ = x1’ + x2’ untuk 3 peubah, x1 , x2 dan x3, adalah : (x1 + x2 + x3)’ = (x1 + y)’  misalnya x2 + x3 = y = x1’ y’ = x1’ (x2 + x3)’ = x1’ x2’ x3’  dualnya : x1’. x2’. x3’ = x1’ + x2’ + x3’

maka : f’(x,y,z) = (x(y’z’ + yz))’ = x’ + (y’z’ + yz)’ Contoh : f(x,y,z) = x(y’z’ + yz). maka : f’(x,y,z) = (x(y’z’ + yz))’ = x’ + (y’z’ + yz)’ = x’ + (y’z’)’ (yz)’ = x’ + (y + z)(y’ + z’). 2. Prinsip Dualitas Ditentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f terlebih dahulu, selanjutnya komplemenkan setiap lateral pada dual tersebut Contoh : f(x,y,z) = x(y’z’ + yz)  dualnya : x + ((y’ + z’) (y + z)) Komplemen tiap lateral menjadi : x’ + (y + z)(y’ + z’) = f’. Maka f’(x,y,z) = x’ + (y + z)(y’ + z’) Latihan : Cari Komplemen dari fungsi : f(x,y,z) = x’ (yz’ + y’z)