MODUL VIII NILAI EGIEN DAN VEKTOR EIGEN Prayudi STT PLN

Nilai Eigen dan Vektor Eigen Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rn dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol  sedemikian rupa sehingga, Ax = x disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan . Contoh : Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari : yang bersesuaian dengan nilai eigen,  = 3, karena : Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen Prayudi STT PLN

Teknik Menghitung Nilai Eigen (1) Untuk menghitung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulislah Ax = x sebagai, Ax = Ix (I – A)x = 0 Agar supaya  menjadi nilai eigen, maka penyelesaian sistem persamaan linier diatas haruslah non trivial, dimana syaratnya adalah : Prayudi STT PLN

Teknik Menghitung Nilai Eigen (2) Persamaan terakhir adalah polinomial  berderajad n yang disebut dengan persamaan karakteritik A, sedangkan nilai eigen matrik A adalah akar-akar persamaan karakteristik A (akar-akar polinomial dalam ). Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matrik A adalah : Bentuk matrik (I – A) Hitung determinan, det(I – A)=0 Tentukan persamaan karakteristik dari, (I – A) = 0 Hitung akar-akar persamaan karakteristik (nilai lamda) Hitung vektor eigen dari SPL, (I – A)x=0 Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen Prayudi STT PLN

Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A = Contoh Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A = Jawab Bentuk, I – A yaitu : Untuk  = 4, diperoleh SPL (I – A) = Persamaan karakteristiknya adalah : Solusi SPL diatas adalah : det(I – A) = 2 – 2 – 8 = 0 Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah : 1 = 4, dan 2 = –2, dan inilah nilai eigen matrik A. Vektor eigen x dari A diperoleh dari : Jadi vektor eigen untuk  = 4, adalah x = [5,1]. Sedangkan vektor eigen yang bersesuaian dengan  = –2 adalah, x = [1,–1]. (I – A)x = 0 Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen Prayudi STT PLN

Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A = Contoh Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A = Jawab Bentuk, I – A yaitu : Untuk  = 1, diperoleh SPL (I – A) = Persamaan karakteristiknya adalah : det(I – A) = 3 – 62 + 11 – 6 = 0 Solusi SPL diatas adalah : Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah : 1 = 1, 2 = 2, dan 3 = 3 Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (I – A)x = 0 Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan :  = 1 adalah x = [1,1,1] ;  = 2 adalah x = [2,3,3] ;  = 3 adalah x = [1,3,4]. Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen Prayudi STT PLN

Diagonalisasi Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga, P–1AP adalah matrik diagonal. Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A. Langkah-langkah menentukan matrik P dan D adalah sebagai berikut : (1). Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen (2). Carilah n vektor eigen bebas linier A sesuai nilai eigen, p1,p2, ... , pn, (3). Bantuklah matrik P = [p1 p2 … pn] dan hitunglah P–1 (4). Hitung, D = P–1AP dengan diagonal utama, 1, 2, … ,n Contoh : Vektor eigen dan nilai eigennya :  = 1 adalah x = [1,1,1] ;  = 2 adalah x = [2,3,3] ;  = 3 adalah x = [1,3,4]. D = P–1AP = Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen Prayudi STT PLN

Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen Contoh Carilah nilai eigen, vektor eigen dan matrik P yang mendiagonalisasi matrik A, bilamana Jawab Menentukan nilai eigen A dan vektor eigen. Persamaan karakteristik A diperoleh dari : det(I – A) = 0 Persamaan karakteristiknya adalah : 3 – 122 + 45 – 54 = 0. dan akar-akarnya adalah : 1 = 2 = 3, dan 3 = 6. Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (I – A)x = 0 Untuk  = 3, SPL-nya Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen p1 = [–2 ,1,0] p2 = [–2 ,0,1] Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen Prayudi STT PLN

Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen Untuk  = 6, SPL-nya Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen p3 = [–1,1,1] Matrik P yang mendiagonalisasi A adalah : P = [p1 p2 p3] = Matrik diagonal D = P–1AP = Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen Prayudi STT PLN

Diagonalisasi Ortogonal Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matrik P yang ortogonal sedemikian rupa sehingga, P–1AP (=PTAP) adalah matrik diagonal (elemen matrik D adlah nilai eigen matrik A). Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal. Jika A adalah matrik nxn, maka pernyataan berikut ekivalen yakni : (1). A dapat didiagonalisasi secara ortogonal, (2). A matrik simetris, (3). A mempunyai himpunan ortonormal n vektor eigen. Langkah-langkah menentukan matrik P adalah sebagai berikut : (1). Carilah n vektor eigen A yang bebas linier, x1, x2, ... , xn. (2). Terapkan proses Gram-Schmidt untuk membentuk basis ortonormal, dari vektor basis pada langkah (1). (3). Bentuk matrik P dari langkah (2), yakni P = [p1 p2 … pn] Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen Prayudi STT PLN

Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (I – A)x = 0 Contoh Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan matrik A, secara ortogonal bilamana Jawab Menentukan nilai eigen dan vktor eigen A. Persamaan karakteristik A diperoleh dari : det(I – A) = 0 Persamaan karakteristiknya adalah : 3 – 32 – 9 + 27 = 0. dan akar-akar atau nilai eigennya adalah : 1 = 2 = 3, dan 3 = –3. Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (I – A)x = 0 Untuk  = 3, SPL-nya Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen x1 = [1,1,0] x2 = [–2 ,0,1] Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen Prayudi STT PLN

Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen Untuk  = 6, SPL-nya Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen x3 = [1,–1,2] Menentukan P = [p1 p2 p3] v2 = x2 – [x2,p1]p1 Menghitung p1 = [–2,0,1] – [–1,–1,0] = [–1,1,1] Menghitung p2 Menghitung p3 p2 = v2/|v2|, dengan v2 = x2 – [x2,p1]p1 p3 = v3/|v3|, dengan : v3 = x3 – [x3,p1]p1 – [x3,p2]p2 [x2,p1] = [x3,p1] = [x2,p1]p1 = Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen Prayudi STT PLN

[x3,p1]p1 = [0,0,0] Sehingga, v3 = x3 = [1,–1,2] [x3,p2] = Dengan demikian, P = [p1 p2 p3] = Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen Prayudi STT PLN

SOAL-SOAL LATIHAN Tentukan persamaan karakteristik, nilai eigen matrik A Tentukan vector eigen A yang membentuk yang sesuai dengan nilai eigen A. Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan A, dengan rumus P= [x1 x2 … xn], dan D=P–1AP. Dengan proses Gram-Schimdt, tentukan matrik P mendiagonalisasikan A secara ortonormal, P= [p1 p2 … pn], D=PTAP. Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen Prayudi STT PLN