Persamaan Diverensial Pertemuan 3

Persamaan Diverensial Total Persamaan Diferensial (PD) adalah persamaan yang memuat turunan-turunan / derivatif dari satu atau lebih peubah (variable) bebas terhadap satu atau lebih peubah tak bebas Secara umum, PD dapat dibedakan (klasifikasi) menjadi 2, yaitu PD Biasa (Ordinary Differential Equations) PD Parsial (Partial Differential Equations)

1. PD Biasa PD Biasa (Ordinary Differential Equations), yaitu PD yang memuat 1 peubah bebas dan 1 peubah tak bebas. PD jenis ini dapat dirumuskan Contoh : Persamaan dy/dx+ xy = 0 dan d2y/dx2+dy/dx – xy = 0 adalah persamaan diferensial biasa karena variable tak bebas y hanya bergantung pada variable bebas x

2. PD Parsial yaitu PD yang memuat 1 peubah tak bebas dan lebih dari satu peubah bebas. PD jenis ini dengan dua peubah bebas dapat dirumuskan Contoh : Persamaan dz/dy+ dz/dx= 0 adalah persamaan diferensial parisial karena variable tak bebas z bergantung pada variable bebas x dan y.

Persamaan diverensial eksak Persamaan Diferensial Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat satu yang berbentuk Serta jika memenuhi

Contoh

Jika f adalah suatu fungsi dua peubah yang mempunyai derivative parsial tingkat satu yang kontinyu dalam suatu domain d, maka diferensial total fungsi f yaitu df didefinisikan oleh Misal penyelesain umum PD (i) adalah F(x, y) = C dengan C adalah konstanta sebarang, maka

Sehingga solusi PD Eksak berbentuk F(x, y) = C Sehingga solusi PD Eksak berbentuk F(x, y) = C. Berdasarkan hal tersebut, dapat dicari solusi PD sebagai berikut :

NOTE : bentuk ∫x adalah integral terhadap x, dimana y dipandang sebagai konstanta dan g(y) konstanta integral yang harus dicari. karena g'(y) merupakan fungsi dengan peubah y saja maka setelah disederhanakan merupakan fungsi dari y atau konstanta. Dengan kata lain g(y) dapat dicari

Integralkan kedua ruas terhadap variabel y, diperoleh

Contoh Cari solusi dari PD (x + y) dx + (x – y) dy = 0 Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD eksak

Jawab Karena maka PD tesebut adalah PD eksak, maka untuk mencari solusinya, kita akan menggunakan

cari g'(x)

Persamaan Diverensial Tidak Eksak Persamaan Diferensial Tidak Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat satu yang berbentuk dan memenuhi syarat Penyelesaian PD tidak eksak dapat diperoleh dengan dengan mengalikan PD (i) dengan suatu fungsi u yang disebut Faktor Integral (FI), sehingga diperoleh PD eksak yaitu

karena PD sudah berbentuk eksak, maka memenuhi

Secara umum Faktor Integral terdiri dari tiga kasus yaitu (a) FI u sebagai fungsi x saja karena u sebagai fungsi x saja, maka Oleh karena itu, Rumus Umum Faktor Integral diatas dapat ditulis

(b) FI u sebagai fungsi y saja karena u sebagai fungsi y saja, maka Oleh karena itu, Rumus Umum Faktor Integral diatas dapat ditulis

(c) FI u sebagai fungsi x dan y misal bentuk peubah x, y = v maka FI : u = u(v) Jika pers (iii), (iv) dan (v) disubstitusikan ke RUMUS UMUM FAKTOR INTEGRAL, maka

Contoh

sehingga diperoleh PD eksak adalah Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakan Penyelesaian PD Eksak.

Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakan Penyelesaian PD Eksak.

Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakan Penyelesaian PD Eksak.