INTERPOLASI Edy Mulyanto

INTERPOLASI Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui cara menentukan harga fungsi f dititik x* ε [x0,xn] dengan menggunakan informasi dari seluruh atau sebagian titik-titik yang diketahui ( x0, x1, …., xn) x x0 x1 x2 ……. xn f(x) f(x0) f(x1) f(x2) f(xn)

Jenis Interpolasi Interpolasi Linier Interpolasi Kuadrat Interpolasi Lagrange Interpolasi Newton

INTERPOLASI LINIER (1) Misalkan ada m bilangan : x1, x2, …., xm dan bilangan lain yang berkaitan : y1, y2 , …., ym maka masalahnya : berapa harga y* pada x* ε [xk,xk+1] ? y x yk+1 xk+1 yk xk y* x* ?

INTERPOLASI LINIER (2) Ambil ruas garis yang menghubungkan titik (xk,yk) dan (xk+1,yk+1) Diperoleh persamaan garisnya : Persamaan (1) :

INTERPOLASI LINIER (3) ? Jadi persamaan garisnya adalah : y x yk+1 xk+1 yk xk y* x* ?

INTERPOLASI LINIER

Contoh (1) Perkirakan jumlah penduduk Amerika Serikat pada tahun 1968 berdasarkan data tabulasi berikut : Dengan menggunakan Persamaan (1) : 1968-1960 Y(1968) = 179,3+ __________(203,2-179,3) = 198,4 1970-1960 Jadi taksiran jumlah penduduk AS pada tahun 1968 adalah 198,4 juta. Tahun 1960 1970 Jumlah Penduduk (juta) 179,3 203,2

Contoh (2) Hasilnya Tentukan harga y pada x = 6,5 ! Diketahui data sebagai berikut : Tentukan harga y pada x = 6,5 ! Jawab : x = 6,5 terletak antara x=6 & x=7 x -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 y 9 16 25 36 49 Hasilnya

=> Kesalahan mutlak (E) : |42,5 – 42,25| = 0,25 x -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 y 9 16 25 36 49 Bandingkan hasil kedua jawaban tersebut !! Mana yang mendekati jawaban yang sesungguhnya ..?? Karena hub. x & y adalah y = x2 maka untuk harga x = 6,5 didapat y = (6,5)2 = 42,25 => Kesalahan mutlak (E) : |42,5 – 42,25| = 0,25

INTERPOLASI KUADRAT Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier Untuk itu digunakan polinomial lain yg berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya Caranya : Pilih 3 titik & buat polinomial berderajat dua melalui ke - 3 titik tsb., shg dpt dicari harga fgs. pada x = x* Pemilihan ke-3 ttk tsb., dapat : xk-1 < xk < xk+1 atau xk-1 < x* < xk < xk+1

Persamaan umum Polinomial kuadrat : P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 …..(1*) 3 titik (xk-1,yk-1), (xk,yk) & (xk+1,yk+1) dilalui fgs. P(x) berarti: yk-1 = a0 + a1 xk-1 + a2 xk-12 yk = a0 + a1 xk + a2 xk2 …………………………. (2*) yk+1 = a0 + a1 xk+1+ a2 xk+12 => Akan diperoleh dari 3 pers. yaitu a0, a1 dan a2 kemudian subst. ke (1*) & diperoleh pers. kuadrat, shg dapat dicari nilai fgs. untuk x = x* yaitu P(x*) = a0 + a1 x* + a2 x*2

Contoh (3) Diberikan titik ln(8.0) = 2.0794, ln(9.0) = 2.1972, dan ln(9.5) = 2.2513. Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadratik. Penyelesaian: Sisten persamaan lanjar yang terbentuk adalah a0 + 8.0 a1 + 64.00 a2 = 2.0794 a0 + 9.0 a1 + 81.00 a2 = 2.1972 a0 + 9.5 a1 + 90.25 a2 = 2.2513 Penyelesaian sistem persamaan dengan metode eliminasi Gauss menghasilkan a0 = 0.6762, a1 = 0.2266, dan a3 = -0.0064. Polinom kuadratnya adalah p2(x) = 0.6762 + 0.2266x - 0.0064x2 sehingga p2(9.2) = 2.2192

INTERPOLASI LAGRANGE Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk interpolasi berselang tidak. Walaupun demikian dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama.

Formula Interpolasi Lagrange Jika y(x) : nilai yang diinterpolasi; x : nilai yg berkorespondensi dg y(x) x0, x1, …., xn : nilai x dan y0, y1, …., yn : nilai y

Contoh 4 Nilai yg. berkorespondensi dengan y = 10log x adalah : Carilah 10log 301 ? Untuk menghitung y(x) = 10log 301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi X 300 304 305 307 10log x 2,4771 2,4829 2,4843 2,4871 x0 = 300 x1 = 304 x2 = 305 x3 = 307 y0 = 2,4771 y1 = 2,4829 y2 = 2,4843 y3 = 2,4871

Dengan menggunakan interpolasi lagrange

Sekian