KEBALIKAN SUATU MATRIKS Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat KEBALIKAN SUATU MATRIKS Matematika II - 25 Kebalikan Matriks

Matriks Ajugat atau Cara Penyapuan Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat KEBALIKAN Matriks (b x l) (b x b) Ms Mt det = 0 det 0 p(M) < b ; b < l p(M) < b p(M) = b Mu M-1 Mu U m u m K h a s U m u m Matriks Ajugat atau Cara Penyapuan Matematika II - 25 Kebalikan Matriks

Pengolahan secara umum :  Perhatikan dimensi matriks yang akan diolah  Hitung determinan matriksnya. Penyelesaian : a. Algoritma; b. Minor-Kofaktor; c. Penyapuan  Tentukan matriks kebalikannya Penyelesaian : a. Matriks Ajugat; b. Penyapuan  Bila determinannya tidak samadengan nol, maka kebalikan matriks bersifat khas (hanya mempunyai 1 kebalikan matriks)  Bila determinannya samadengan nol, maka kebalikan matriks bersifat umum/tak khas (mempunyai 2 atau lebih kebalikan matriks)

KEBALIKAN KHAS Matriks Ajugat 1 | M | M-1 = . K’ Mb = ( mij)b Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat KEBALIKAN KHAS Matriks Ajugat 1 | M | M-1 = . K’ Mb = ( mij)b K = (aij)b K’ = (aji)b Matematika II - 25 Kebalikan Matriks

mengubah suatu matriks tidak singular menjadi bentuk kanonik Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Cara Penyapuan mengubah suatu matriks tidak singular menjadi bentuk kanonik Pengolahan baris dan baris Pengolahan baris dan lajur Matematika II - 25 Kebalikan Matriks

1. Diketahui suatu matriks segi M berdimensi (3 x 3) sbb : CL KM01 SL KM01 1. Diketahui suatu matriks segi M berdimensi (3 x 3) sbb : M = 2 1 2 1 3 4 2 4 6 Tentukan kebalikan matriks M dengan cara : Matriks ajugat Penyapuan

 M = 2 1 2 1 3 4 2 4 6 Penyelesaian (matriks ajugat) : JCL KM01-1A : M = 2 1 2 1 3 4 2 4 6 Penyelesaian (matriks ajugat) :  Hitung determinannya | M | = 2  Menentukan matriks kanoniknya : K = 2 2 -2 2 8 -6 -2 -6 5 K’ = 2 2 -2 2 8 -6 -2 -6 5  M-1 = ½ = 2 2 -2 2 8 -6 -2 -6 5 1 1 -1 1 4 -3 -1 -3 5/2

 Pengolahan baris dan baris Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat JCL KM01-1B :  Pengolahan baris dan baris arahkan matriks M menjadi matriks segitiga atas atau segitiga bawah E3.2(-1) E1.3(-1) E2.3(-2) 2 1 2 1 0 0 1 3 4 0 1 0 2 4 6 0 0 1 2 1 2 1 0 0 1 3 4 0 1 0 1 1 2 0 -1 1 1 0 0 1 1 -1 -1 1 0 0 3 -2 Matematika II - 25 Kebalikan Matriks

arahkan matriks segitiga bawah menjadi matriks identitas Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat arahkan matriks segitiga bawah menjadi matriks identitas E2.1(1) E3.1(-1) E3(1/2) E3.2(-1) M-1 = 1 0 0 1 1 -1 0 1 0 1 4 -3 0 0 1 -1 -3 5/2 0 1 2 -1 -2 2 1 1 -1 1 4 -3 -1 -3 5/2 Matematika II - 25 Kebalikan Matriks

 Pengolahan baris dan lajur Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat  Pengolahan baris dan lajur arahkan matriks M menjadi matriks segitiga atas atau segitiga bawah Pengolahan baris : 1 0 0 2 1 2 0 1 0 1 3 4 0 0 1 2 4 6 1 0 0 2 1 2 0 1 0 1 3 4 -1 0 1 0 3 4 E3.1(-1) E1.2(-1) 1 -1 0 1 -2 -2 0 1 0 1 3 4 -1 0 1 0 3 4 0 -1 1 1 1 2 1 1 -1 1 0 0 -1 0 1 0 3 4 E1.3(1) E1.2(-1) E2.3(-1) Matematika II - 25 Kebalikan Matriks

arahkan matriks R-1 M menjadi bentuk matriks kanonik = I Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat -1 -2 2 0 1 2 1 1 -1 1 0 0 -1 0 1 0 3 4 -1 -2 2 0 1 2 1 1 -1 1 0 0 2 6 -5 0 0 -2 E3.1(-3) 1 1 -1 1 0 0 -1 -2 2 0 1 2 2 6 -5 0 0 -2 E1.2 R-1 R-1 M arahkan matriks R-1 M menjadi bentuk matriks kanonik = I Matematika II - 25 Kebalikan Matriks

Pengolahan lajur : F3(-1/2) F3.2(1) S-1 I 1 0 0 0 1 -1 0 0 1 0 1 0 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Pengolahan lajur : F3(-1/2) F3.2(1) S-1 I 1 0 0 0 1 -1 0 0 1 0 1 0 0 0 -1/2 0 1 2 0 0 -2 0 1 1 M-1 = S-1.R-1 = = 1 0 0 1 1 -1 0 1 1 -1 -2 2 0 0 -1/2 2 6 -5 1 1 -1 1 4 -3 -1 -3 5/2 Matematika II - 25 Kebalikan Matriks

Cari anak-matriks yang segi Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat KEBALIKAN UMUM Matriks segi dengan determinan = 0 Cari anak-matriks yang segi dengan determinan 0 Matriks tidak segi ( brs ljr ) Matematika II - 25 Kebalikan Matriks

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Tahapan menentukan KU 1. Pilih 1 (satu) anak matriks yang tidak singular dari matriks M dan katakan anak matriks tsb adalah Q 2. Tenntukan kebalikan Q yaitu Q-1; kemudian putar menjadi (Q-1)’ 3. Penggantian unsur-unsur matriks M : a. unsur2 dalam anak matriks Q diganti dengan unsur2 matriks kebalikannya yaitu (Q-1)’ b. unsur2 di luar anak matriks Q diganti dengan nol 4. Putar matriks M setelah unsur2nya diganti; hasilnya merup. kebalikan umum dari matriks M yaitu Mu Matematika II - 25 Kebalikan Matriks

1. Tentukan kebalikan matriks berikut dengan cara matriks ajugat. CL KM02 SL KM02 1. Tentukan kebalikan matriks berikut dengan cara matriks ajugat. a. Matriks M = 5 4 1 2 1 1 4 3 1 b. Matriks M = 2 4 6 3 -1 -5

KU Matriks Segi q11 q12 q21 q22 M = Q = KQ = q11 = (-1)2 (3) Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat JCL KM02-1A : KU Matriks Segi M = 5 4 1 2 1 1 4 3 1 Q = 2 1 4 3 Det Q = 2 Det M = 0 KQ = q11 q12 q21 q22 q11 = (-1)2 (3) q21 = (-1)3 (4) q12 = (-1)3 (1) q22 = (-1)4 (2) Matematika II - 25 Kebalikan Matriks

   KQ = K’Q = Q-1 = (Q-1)’ = (Mu)’ = Mu = 1/2 3/2 -2 0 3 -4 3 -1 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat KQ = 3 -4 -1 2  K’Q = 3 -1 -4 2 Q-1 = 1/2  3 -1 -4 2 (Q-1)’ = 3/2 -2 -1/2 1  (Mu)’ = 0 0 0 3/2 -2 0 -1/2 1 0 Mu = 0 3/2 -1/2 0 -2 1 0 0 0 Matematika II - 25 Kebalikan Matriks

 KU Matriks TidakSegi M = Q = 4 6 -1 -5 2 4 6 3 -1 -5 Det Q = -14 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat JCL KM02-1B :  KU Matriks TidakSegi M = Q = 4 6 -1 -5 2 4 6 3 -1 -5 Det Q = -14 KQ = q11 q12 q21 q22 q11 = (-1)2 (-5) q21 = (-1)3 (-1) q12 = (-1)3 (6) q22 = (-1)4 (4) Matematika II - 25 Kebalikan Matriks

   K’Q = KQ = (Q-1)’ = Q-1 = Mu = (Mu)’ = -5 -6 -5 1 1 4 -6 4 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat  K’Q = KQ = -5 -6 1 4 -5 1 -6 4  (Q-1)’ = 5/14 -1/14 6/14 -4/14 Q-1 = -1/14 -5 -6 1 4  Mu = 0 0 5/14 6 -1/14 -4/14 (Mu)’ = 0 5/14 -1/14 0 6/14 -4/14 Matematika II - 25 Kebalikan Matriks