MATEMATIKA LANJUT 1 DETERMINAN Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi

PERMUTASI Definisi Suatu permutasi dari bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3, …, n} adalah penyusunan bilangan-bilangan tersebut dengan urutan tanpa pengulangan Contoh: Permutasi dari {1, 2, 3} adalah (1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2) (1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1) Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2, …, n} akan mempunyai n! permutasi

Suatu permutasi (j1, j2, …, jn) dikatakan mempunyai 1 inversi jika terdapat satu bilangan yang lebih besar mendahului suatu bilangan yang lebih kecil. Contoh: (6, 1, 3, 4, 5, 2) 6 mendahului 1, 3, 4, 5, 2 = 5 inversi 3 mendahului 2 = 1 inversi 4 mendahului 2 = 1 inversi 5 mendahului 2 = 1 inversi Jadi terdapat 8 inversi dalam permutasi di atas (1, 2, 3, 4) : tidak terdapat inversi

Definisi Suatu permutasi dikatakan permutasi genap jika banyaknya inversinya sejumlah genap dan dikatakan permutasi ganjil jika banyak inversinya sejumlah ganjil

Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(A) atau |A|. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2

Menghitung determinan Hitunglah determinan matriks berikut ini: A = Det(A) = (3) (-2) – (1)(4) = -10 Det(B) = (1)(4) – (2)(2) = 0 Det(C) = tidak didefinisikan B = C =

Aturan Sarrus A1 = Det(A1) = (a11.a22) – (a12.a21) A2 = Det(A2) = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33) - + a11 a12 a21 a22 a31 a32 - - - + + +

Aturan Sarrus (lanjt) M = K = Pertanyaan: Apakah metode di atas dapat diterapkan pada matriks 4x4, 5x5 dst? Det(M) = 3.-2 – (1.4) = -10 3 2 1 2 4 4 Det(K) = 3.2.5+2.3.4+2.1.4- (2.2.4 + 3.3.4 + 2.1.5) = 30 + 24 +8 – (16+36+10) = 62 – 62 = 0 - - - + + +

Menghitung determinan dengan kofaktor Untuk keperluan menghitung ordo n dengan n≥3 perlu lebih dahulu definisikan pengertian minor dan kofaktor sbb : Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C33 adalah (-1)i+j Mij a11 a12…….a1j ……a1n a21 a22 ……a2j…….a2n : : : : ai1 ai2 ……aij…….. ain : : : : an1 an2……anj……. ann A = a11 a12…….a1j ……a1n a21 a22 ……a2j…….a2n : : : : ai1 ai2 ……aij…….. ain : : : : an1 an2……anj……. ann Mij= det Cij =(-1)i+j Mij

Definisi determinan matriks dengan kofaktor a11 a12…….a1j ……a1n a21 a22 ……a2j…….a2n : : : : ai1 ai2 ……aij…….. ain : : : : an1 an2……anj……. ann A= Mij det matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke i kolom ke j matriks A. Cij=(-1)i+jMij Definisi: Determinan matriks A (dengan ekspansi baris ke i, atau ekspansi kolom ke j) adalah : Det(A) = =

Contoh: Minor dan kofaktor Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij A = M13 = det a21 a22 a31 a32 C13 = (-1)1+3M13 A = M13 = det a21 a22 a31 a32 C13 = (-1)1+3M13 Cij = (-1)i+jMij

Contoh: Hitunglah semua minor dan kofaktor matriks berikut ini: 2 0 4 5 M11= Det = 10 C11= (-1)1+1 10 = 10 3 0 0 1 2 0 4 4 5 M12= 1 0 4 5 Det = 5 C12= (-1)1+2 5 = -5 1 2 4 4 M13= Det = -4 C13= (-1)1+3 -4 = -4 + - + - + - C21= ? C22= ? 15 C23= ? -12 C31= ? C32= ? C33= ? 6

Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolom Det (A) = a11a22a33 – a11a23a32 + a12a23a31 – a12a21a33 + a13a21a32 – a13a 22a31 Det(A) = Det (A) = a11 (a22 a33 – a23 a32) + a12 (a21 a33 – a23 a31) + a13 (a21 a32 – a22 a31) Det(A) = C11 C12 C13 Det(A) = Ekspansi baris pertama Det(A) = Ekspansi baris kedua

Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolom Det(A) = ekspansi baris pertama = ekspansi baris kedua = a31C31 + a32C32 + a33C33 ekspansi baris ketiga = ekspansi kolom pertama = a12C12 + a22C22 + a32C32 ekspansi kolom kedua = a13C13 + a23C23 + a33C33 ekspansi kolom ketiga

Contoh: ada 9 (= 3x3) kofaktor 3 0 0 1 2 0 4 4 5 ada 9 (= 3x3) kofaktor C11= 10 C21= 0 C31= 0 C12= -5 C22= 15 C32= 0 C13= -4 C23= -12 C33= 6 Determinan A dengan ekspansi baris ketiga: Det(A) = 4x0 + 4x0 + 5x6 = 30 Determinan A dengan ekspansi kolom ketiga: Det(A) = 5x6 = 30

Determinan matriks 4x4 dengan kofaktor M34= det C34=(-1)3+4M34 Ada berapa banyak kofaktor? Ada 16 kofaktor Cij, i, j = 1, 2, 3, 4 Det(A) = ekspansi baris pertama = ekspansi ……… 8 baris ke tiga Ada ……. cara menghitung determinan A dengan kofaktor

Menghitung determinan matriks 4x4 dengan kofaktor matriks 4x4 berikut: Ekspansi baris 1: Note : a12 dan a14 bernilai 0

SIFAT - SIFAT DETERMINAN det(At) = det(A) Contoh : det(A) = 7 det(At) = 7 Sifat 2 Jika matriks B adalah hasil dari matriks A dengan menukarkan dua baris sebarang, maka det(B) = - det(A)

Diberikan matriks maka det(A) = 6. Jika , maka det(B) = -det(A) = -6. Contoh Diberikan matriks maka det(A) = 6. Jika , maka det(B) = -det(A) = -6.

Sifat 3 Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan mengalikan bil.real k dengan satu baris (kolom) dari matriks A, maka det(B) = k.det(A) Contoh: Diberikan matriks dgn det(A) = 6 Jika  det(B) = 2 x det(A) = 2x6 = 12

Sifat 4 Jika matriks B diperoleh dari matriks A dgn mengalikan satu baris(kolom) dari A dgn bil.real sebarang kemudian menambahkannya ke baris (kolom) lain, maka det(B) = det(A) Contoh : Diberikan matriks , det(A) = 12. Jika , maka det(B) = det(A) = 12

Sifat 5 Jika suatu matriks terdiri dari dua baris (kolom) yang elemen – elemennya sama, maka determinannya adalah nol. Contoh Matriks determinannya = nol. Sifat 6 Jika suatu matriks terdiri dari satu baris (kolom) dengan elemen nol, maka determinannya adalah nol.

Sifat 7 Jika matriks A=[aij], 1 i  n, 1  j  n, adalah matriks segitiga atas (bawah) maka det(A) = a11.a22. … .ann Contoh : Diberikan matriks maka det(A) = 1.(-2).2 = -4

Sifat 8 Sifat 9 Jika matriks A dan B dapat dikalikan,maka det(AB) = det(A).det(B) Sifat 9 Jika matriks A invertible, maka det(A-1) =

Determinan matriks sederhana Matriks diagonal a11 0 …0 … 0 0 a22 …0 … 0 : : : 0 0 …aij… 0 : : : 0 0… 0 .... ann Det(A) = a11a22a33…ann A= Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0), kecuali a11a22a33…ann. Matriks segitiga a11 a12…a1j …a1n 0 a22 …a2j…a2n : : : : 0 0 …aij….ain : : : 0 0… 0 .... ann B= Det(B) = a11a22a33…ann Determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali entri diagonal utama.

Determinan matriks dengan baris/kolom nol a11 a12…….a1j ……a1n a21 a22 ……a2j…….a2n : : : : ai1 ai2 ……aij…….. ain : : : : 0 0…… 0……. 0 Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0). Jadi semua hasil kali elementer adalah nol. A= Det(A) = 0 a11 0…….a1j ……a1n a21 0……a2j…….a2n : : : : ai1 0……aij…….. ain : : : : an1 0……anj……. ann B= Det(B) =0 Pertanyaan: apakah matriks yang tidak mempunyai inverse determinannya no?

Contoh : Hitunglah dengan cepat nilai determinan matriks berikut ini: Det(D) =0 Det(B) =0 Det(K) =0 Det(M) =0