MATEMATIKA DISKRIT PERTEMUAN KE 3 SAFITRI JAYA, S.Kom, M.T.I SEMESTER GANJIL TA 2017/2018 UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA MATEMATIKA DISKRIT

Review materi Tentukan kardinalitas dari himpunan – himpunan berikut ini : { { } , { { } } } Diketahui A = { 2, 4, 6, 8, 10 } dan B = { 4, 10, 14, 18 } tentukan kardinalitas dari A B Tentukan semua partisi dari himpunan B = { { }, 1, 2, {2}, {{4}} } Diketahui multiset P = { 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3 } dan Q = { 0, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4 } tentukan : P C, P C, P – Q dan P + Q Diberikan A = { 1, 2 }, B = { x, y, z }, dan C = { 3, 4 }, tentukan |A x B x C| dan A x B x C Diketahui A = { 1, 3, 5 } dan B = { 1, 2, 3 }, tentukan A – B dan B - A

matriks Matriks adalah susunan skalar elemen – elemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m x n) adalah : A = 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑎1𝑚 𝑎2𝑚 … 𝑎𝑚𝑛 Di bawah ini adalah sebuah matriks yang berukuran 3 x 4 : A = 2 5 0 6 8 7 5 4 3 1 1 8 Baris Kolom

Beberapa matriks khusus Matriks Diagonal adalah matrik bujursangkar dengan aij =0 untuk i ≠ j. Dengan kata lain, seluruh elemen yang tidak terdapat pada posisi i ≠ j bernilai 0. Contoh : 1 0 0 0 2 0 0 0 3 Matriks Identitas dilambangkan dengan I, adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal = 1. 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Beberapa matriks khusus Matriks Segitiga bawah / atas adalah matrik jika elemen-elemen di atas / di bawah diagonal bernilai 0, yaitu aij = 0 jika i < j ( i > j ). Contoh : 1 0 0 1 2 0 3 4 3 1 1 2 0 3 4 0 0 5 Matriks Transpose adalah matrik yang diperoleh dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 7 2 5 8 7 8 9 Matriks segitiga atas Matriks segitiga bawah

Beberapa matriks khusus Matriks setangkup elemen di bawah diagonal adalah hasil pencerminan dari elemen di atas diagonal terhadap sumbu diagonal matriks. Contoh : 1 5 6 2 5 7 0 4 6 2 0 4 3 2 2 6 Matriks 0/1 (zero-one) adalah matrik yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. 1 0 0 0 1 1 0 1 0

Operasi aritmatika matriks Penjumlahan dan pengurangan dua buah matriks Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan apabila ukuran baris x kolom dari kedua matriks A dan B adalah sama. Contoh : A adalah matriks berukuran 3 x 3 dan B adalah matriks dengan ukuran 3 x 3, maka A dapat dijumlahkan dengan B. Sebaliknya jika A adalah matriks berukuran 3 x 3 dan B berukuran 4 x 4, maka A tidak dapat dijumlahkan dengan B karena A dan B memiliki ukuran yang berbeda. Perkalian dua buah matriks Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris dari matriks B. Contoh : matrika A berukuran 2 x 2 dan Matriks B berukuran 2 x 3, maka A dapat dikalikan dengan B. Perkalian matriks dengan skalar Misalkan k adalah skalar, perkalian matriks A dengan skalar k adalah mengalikan setiap elemen matriks dengan k.

relasi Relasi adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lainnya yang dinyatakan dengan struktur. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B Notasi : R (A x B) Contoh : Misalkan A = {Aqil, Gilang, Dwi} adalah himpunan nama mahasiswa, dan B = { Matematika Diskrit, RPL, PBO} adalah himpunan nama mata kuliah, maka perkalian antara A dan B menghasilkan himpunan pasangan terurut yang jumlah anggotanya adalah |A| x |B| = 3 x 3 yaitu 9 buah.

Representasi relasi Representasi relasi dengan tabel A B Aqil Matematika Diskrit RPL PBO Gilang Dwi

Representasi relasi Representasi relasi dengan matriks Misalkan R menyatakan relasi mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa sebagai berikut : R = {(Aqil, Matematika diskrit), (Aqil, RPL), (Gilang, RPL), (Gilang, PBO), (Dwi, RPL) } Relasi matriks dari R adalah sebagai berikut : 1 1 0 0 1 1 0 1 0

Representasi relasi Representasi relasi dengan graf berarah Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis menggunakan graf berarah (direct graph atau digraph). Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik yang disebut juga simpul atau vertex, dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur atau arc yang arahnya ditunjukkan dengan sebuah panah. Sebuah graf berarah dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). Sebuah graf yang memiliki simpul asal dan simpul tujuan yang sama disebut gelang atau kalang (loop).

Relasi inversi Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Inversi dari relasi R dilambangkan dengan R-1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh R-1 = {(b, a) | (a, b) R } Contoh : Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q, jika P habis membagi Q maka diperoleh relasi R adalah sebagai berikut : R = { (2,2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15), (4, 4), (4, 8) } maka relasi invers dari R adalah R-1 = { (2, 2), (4, 2), (8,2), (9,3), (15, 3), (4, 4), (8,4) }

Mengkombinasikan relasi Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}. Relasi R1 = {(a, a), (b,b), (c,c)} dan relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a,d)} adalah relasi dari A ke B. Kombinasi relasi dapat diperoleh sebagai berikut : R1 R2 = {(a,a)} R1 R2 = {(a, a), (b,b), (c,c), (a, b), (a, c), (a,d)} R1 – R2 = {(b,b), (c,c)} R2 – R1 = {(a, b), (a, c), (a,d)} R1 R2 = {(b,b), (c,c), (a, b), (a, c), (a,d)}