TEKNIK KOMPUTASI 4. INVERS MATRIKS (II)

5.1. Matrix Kofaktor (1) Matrix kofaktor adalah matrix yang dibentuk dengan menggantikan setiap elemen dari sebuah matrix bujur sangkar dengan kofaktornya. Kofaktor-kofaktor itu diperoleh dari determinan matrix asal. Misal : Matrix kofaktor A diberi notasi Ac adalah : dan

5.1. Matrix Kofaktor (2) Setiap kofaktor dari matrix ini diperoleh dari determinan, jadi : dan seterusnya. Matrix kofaktor selalu berorde sama dengan matrix asal. Contoh :

5.2. Matrix Adjoint (1) Matriks adjoint atau matrix adjugate adalah matrix transpose dari matrix kofaktor. Untuk contoh di atas :

5.2. Matrix Adjoint (2) Invers Sebuah Matrix Perkalian antara sebuah matrix dengan matrix adjointnya akan membentuk matrix skalar, yang semua elemen diagonal utamanya sama dengan nilai determinan matrix asal. AAa = |A| I Jika kedua ruas dari persamaan di atas dibagi dengan |A|, maka : Sehingga :

5.2. Matrix Adjoint (3) Dari persamaan di atas menyatakan bahwa invers sebuah matrix sama dengan matrix adjoint dibagi dengan determinannya. Invers sebuah matrix hanya ada jika determinan matrix tersebut tidak sama dengan nol, matrix tersebut dikatakan nonsingular. Contoh :

5.2. Matrix Adjoint (4)

5.3. Mencari Invers dari Matriks dengan Operasi Baris (1) Praktisnya, matrix yang akan dicari inversnya ditulis berdampingan dengan matrix identitas yang berorde sama, kemudian operasi baris dilakukan bersama-sama. Harus dipilih operasi baris tersebut sedemikian sehingga matrix itu berubah menjadi matrix identitas. Hal ini dapat dilakukan dengan mengenakan operasi eliminasi baris demi baris, ataupun menggunakan eliminasi menggunakan matrix Gauss. Matrix identitas yang berdampingan dengan matrix itu kini berubah menjadi matrix invers.

5.3. Mencari Invers dari Matriks dengan Operasi Baris (2) Contoh 1 : Tentukan matrix invers dari matrix A ini! Matrix A ditulis berdampingan dengan matrix identitas. Menggunakan eliminasi baris demi baris diperoleh sebagai berikut : Hij (k) merupakan simbol operasi dari : tambahkan baris ke-i dengan k kali baris ke-j untuk menggantikan baris ke-i

5.3. Mencari Invers dari Matriks dengan Operasi Baris (3) H31 (-1) H41 (-1) H12 (-2) H42 (4) H3 (-1/2) H4 (-1/3)

5.3. Mencari Invers dari Matriks dengan Operasi Baris (4) H13 (-1) H23 (-1) H14 (-2) H24 (1) Hal tersebut tentunya dapat dibuktikan dengan mengalikan matrix itu dengan matrix asalnya. I A-1

5.3. Mencari Invers dari Matriks dengan Operasi Baris (5) Contoh 2 : Seperti pada contoh 1 di atas, dikerjakan dengan eliminasi menggunakan matrix Gauss:

5.3. Mencari Invers dari Matriks dengan Operasi Baris (6)

5.4. Sifat-Sifat Invers (1) Invers dari invers sebuah matrix merupakan matrix asal (A-1)-1 = A asal A tidak singular  Invers suatu matrix adalah tunggal, artinya ; jika AB = I dan AC = I, maka B = C = A-1  Invers suatu matrix identitas adalah matrix itu sendiri II-1 = I atau I = I-1 Invers dari matrix diagonal adalah matrix diagonal lain yang elemen diagonal utamanya berkebalikan dengan elemen yang sepadan pada matrix asal

5.4. Sifat-Sifat Invers (2) Invers dari hasil kali matrix bujur sangkar A dengan skalar λ adalah sama dengan kebalikan skalar tersebut dikalikan invers matrix A Invers dari matrix segitiga bawah, juga merupakan matrix segitiga bawah, demikian juga matrix segitiga atas

5.4. Sifat-Sifat Invers (3) Elemen diagonal utama matrix invers dari matrix segitiga, merupakan kebalikan dari elemen diagonal yang berpadan pada matrix asal Invers dari matrix simetri juga merupakan matrix simetri pula, sebab matrix adjointnya juga simetri Invers dari hasil kali dua matrix bujur sangkar adalah hasil kali invers-inversnya, tetapi dalam urutan yang terbalik (AB)-1 = B-1A-1 demikian juga   (A1A2...An)-1 = An-1…A2-1A1-1 Invers dari transpose sebuah matrix berlaku sama dengan transpose dari matrix inversnya (AT)-1 = (A-1)T

5.4. Sifat-Sifat Invers (4) Pada umumnya tidak benar bahwa invers dari jumlah dua matrix sama dengan jumlah matrix inversnya (A + B)-1 =/= A-1 + B-1  Jika sebuah matrix nonsingular dipangkatkan bilangan negatif, matrix itu dapat didefinisikan dengan menganggap seperti nilai skalar, sehingga : A-n = (A-1)n = (An)-1, dengan n bilangan negatif Hasil kali antara determinan sebuah matrix dan determinan matrix inversnya selalu satu |AA-1| = |A| |A-1| = 1

5.5. Matrix Orthogonal (1) Adalah matrix bujur sangkar yang inversnya sama dengan transposenya. Jika A matriks orthogonal, maka : A-1 = AT Contoh : Terlihat pada matrix A di atas menunjukkan bahwa setiap baris pada matrix itu adalah vektor satuan karena : (0,6)2 + (-0,8)2 = 1 dan (0,8)2 + (0,6)2 = 1

5.5. Matrix Orthogonal (2) Di samping itu, perkalian skalar antara baris pertama dan baris kedua (masing-masing dianggap sebuah vektor) sama dengan nol : (0,6) (0,8) + (-0,8) (0,6) = 0 Jadi, baris pada matrix itu adalah vektor-vektor yang saling orthogonal. Jika dua matrix A1 dan A2 orthogonal, hasil kali A1A2 akan merupakan matrix orthogonal juga : (A1A2)-1 = A2-1A1-1 = A2TA1T = (A1A2)T Secara umum : (A1A2…An)-1 = (A1A2…An)T dengan A1, A2, …, An merupakan matrix-matrix orthogonal.