INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA BAB VIII INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA

8.1 Integral tentu Sebelum membahas tentang integral tentu, terlebih dahulu kita akan membicarakan luas bidang pada koordinat Kartesius. Menentukan luas bidang tersebut sesederhana seperti kita menentukan luas bidang seperti lingkaran, persegi panjang, segitiga atau bangun-bangun sederhana lainnya. Cara yang sederhana untuk menentukan luas bidang yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu x, x = x1 dan x = x2 kita harus membagi bidang tersebut menjadi beberapa bagian. Makin banyak pembagian bidang tersebut akan semakin akurat pula hasilnya.

x y f(x) (a) (b) Gambar 8.1 a b a b Bidang yang terletak dibawah grafik f (a) (b) Sejumlah persegi panjang yang terletak dibawah grafik f Gambar 8.1

Pembagian bidang menjadi sejumlah n persegi panjang dapat berupa Gambar 8.1(a) atau (b). Pada analisa berikut kita akan membagi bidang seperti Gambar 8.1(a). Misal terdapat suatu bidang R yang terletak pada koordinat kartesius yang dibatasi oleh garis x=a, garis x=b, sumbu x dan grafik f yang kontinu dan tak negatif pada selang tertutup [a,b]. Jika luas bidang R adalah A, maka untuk menentukan luas A yang mendekati harga sebenarnya adalah dengan jalan membagi bidang tersebut menjadi beberapa persegi panjang yang mempunyai lebar yang sama (lihat Gambar 8.1(a)).

Misal luas seluruh persegi panjang pada Gambar 8.1(a) adalah Ai. Jika lebar setiap persegi panjang sangat kecil, maka luas Ai  A. Jika selang tertutup [a,b] dibagi menjadi n sub-selang dengan lebar x maka akan didapat x = (b-a)/n. Selanjutnya dengan memilih batasan sub-selang x0 , x1 , x2 , … xn dengan x0 = a dan xn = b, maka seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.2 berikut.

f(x) 0 x0 =a x1 x2 xk-1 uk xk xn =b y x f(uk ) Gambar 8.2

Sehingga, x0 =a ; x1 =a+x ; x2 =a+2x ; x3 =a+3x ; xk-1 =a+(k-1)x ; xk =a+kx ; xn =a+nx Luas persegi panjang adalah Ai = f(u1) x + f(u2) x + … + f(uk) x + f(un) x Jika menggunakan notasi penjumlahan “”, maka Persamaan 8.2 disebut jumlah Riemann dan f(uk) adalah harga minimum f pada sub-selang tertutup [xk-1,xk]. Jika jumlah persegi panjang (n) sangat besar maka x menjadi sangat kecil.

Luas bidang (A) yang dibatasi oleh f(x), sumbu x, x0 = a dan xn = b sama dengan luas persegi panjang Ai bila x sangat kecil (atau n sangat besar). Dalam bentuk rumus dapat ditulis, Definisi Misal terdapat suatu fungsi f yang kontinu pada selang tertutup [a,b]. Integral tentu fungsi f dari a ke b didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann atau,

Dari Gambar 8.2 dan persamaan 8.1 didapat 8.2 Sifat-sifat integral tentu Berdasarkan persamaan 8.5 maka dapat ditentukan sifat utama integral tentu yaitu, F(x) adalah anti turunan f(x)

Sifat-sifat integral tentu lainnya 4. Jika f terintegralkan pada [a,b] dan c adalah sembarang bilangan ril, maka cf terintegralkan pada [a,b].

5. Jika f dan g terintegralkan pada [a,b] maka f+g dan f–g juga terintegralkan pada [a,b]. 6. Jika a < c < b dan f(x) terintegralkan pada [a,c] dan [c,b], maka f(x) terintegralkan pada [a,b].

7. Jika f terintegralkan pada [a,b] dan f  0 untuk setiap x yang terletak pada [a,b], maka Contoh 8.1 Selesaikan Penyelesaian

8.3 Luas Bidang Secara umum bidang yang berada pada koordinat Kartesius dibatasi oleh y1 = f(x), y2 = g(x), x1 = a dan x2 = b. Bidang tersebut ditunjukkan oleh bidang yang diarsir pada Gambar 8.3. Luasnya bidang adalah

f(x) g(x) x y x1=a x2=b Gambar 8.3

Bentuk khusus dari bidang pada Gambar 8.3 adalah bidang seperti yang terlihat pada Gambar 8.4, yaitu bidang yang dibatasi oleh y1 = f(x), y2 = 0, x1 = a dan x2 = b. Luas bidang adalah

f(x) x y x1= a x2= b Gambar 8.4

x2 ¼ x2 y x x = 3 x = 1 Contoh 8.2 Penyelesaian

Contoh 8.3 Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh x2 +1, ¼x2 +4 , x = 0 dan x = 3. Penyelesaian

x=2 x=3 x y y= x2 +1 y = ¼x2 +4

8.4 Volume dan luas kulit benda putar Jika suatu grafik fungsi diputar mengelilingi sumbu x, maka akan terbentuk suatu benda putar yang mempunyai volume dan luas kulit tertentu. Grafik fungsi dapat juga diputar mengelilingi sumbu y. Pada Gambar 8.5 diperlihatkan suatu fungsi f(x) yang diputar mengelilingi sumbu x. Akibatnya akan terbentuk suatu benda putar seperti Gambar 8.5 b. Volume benda putar dapat ditentukan dengan cara menganalisa elemen tipis yang mempunyai ketebalan x.

y f(x) x x=a x=b (a) x xi f(x) y x x1=a xn=b (b) Gambar 8.5

Luas kulit elemen (A) = 2 [f(xi)] x Berdasarkan persamaan 8.4 maka luas kulit benda putar dapat ditulis menjadi Volume elemen (V) = [f(x)]2 .x

Jadi volume benda putar adalah Jika f(x) diputar mengelilingi sumbu y, maka akan terbentuk bangun seperti Gambar 8.6 berikut. y2 =b y x f(y) y1=a Gambar 8.6

Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, maka luas kulit benda putar yang diputar mengelilingi sumbu y adalah Sedangkan volumenya adalah Contoh 8.4 Tentukan luas kulit dan volume benda putar jika y = ¼ x3 Diputar mengelilingi: a) sumbu x mulai dari x=1 sampai x=3 b) sumbu y mulai dari y=1 sampai y=2

y x f(x) Penyelesaian Grafik y = ¼ x3

y x x=1 x=3 a) Perputaran mengelilingi sumbu x dari x=1 sampai x=3

b) Perputaran mengelilingi sumbu y dari y=1 sampai y=2 x y=2 y=1