INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
Matematika SMK INTEGRAL Kelas/Semester: III/5 Persiapan Ujian Nasional.
Advertisements

Penggunaan Integral Tentu
Bilangan Real ® Bil. Rasional (Q)
MEDIA PRESENTASI PEMBELAJARAN
PENGGUNAAN INTEGRAL Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. Menghitung volume benda putar. 9 Luas daerah di bawah.
BAHAN AJAR KALKULUS INTEGRAL Oleh: ENDANG LISTYANI PERSAMAAN DIFERENSIAL Masalah: Tentukanlah persamaan suatu kurva y= f(x) yang melalui titik (1,3) dan.
Matematika Dasar Oleh Ir. Dra. Wartini, M.Pd.
Multipel Integral Integral Lipat Dua
INTEGRAL RANGKAP INTEGRAL GANDA
7. APLIKASI INTEGRAL MA1114 KALKULUS I.
Bab 8 Turunan 7 April 2017.
Bab 1 INTEGRAL.
INTEGRAL Asep Saeful ulum Feri Ferdiansyah Hilman Nuha Ramadhan
Selamat Datang & Selamat Memahami
HITUNG INTEGRAL INTEGRAL TAK TENTU.
MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL
PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU
“ Integral ” Media Pembelajaran Matematika Berbasis
ITK-121 KALKULUS I 3 SKS Dicky Dermawan
6. INTEGRAL.
Integral Lipat-Dua Dalam Koordinat Kutub
Integral.
INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA
Integral Lipat Dua.
Volume Benda Putar Materi Luas Daerah & Volume Benda Putar bisa di download dari PR selama liburan: Dengan Integral, buktikan.
MATEMATIKA DASAR.
BAB 6 PENERAPAN INTEGRAL.
5.6. Teorema Dasar Kalkulus Pertama
Konsep Kontinuitas Definisi kontinu di suatu titik Misalkan fungsi f terdefinisi disekitar a. Dikatakan f kontinu di a bila lim x  a f(x) ada dan nilai.
MATEMATIKA TEKNIK (KP 009). POKOK BAHASAN Fungsi dan Limit Turunan Sederhana Penggunaan Turunan Integral Penggunaan Integral Matriks.
PENERAPAN INTEGRAL Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat.
7.2.2 Metoda Cincin a. Daerah diputar terhadap sumbu x Daerah D
Penerapan Integral Tertentu
PRESENTASI KALKULUS LANJUT 1
6. INTEGRAL.
KALKULUS 2 INTEGRAL.
APLIKASI INTEGRAL TENTU.
BAB 8 TRIGONOMETRI Sumber gambar : peusar.blogspot.com.
BAB V DIFFERENSIASI.
5.4. Pendahuluan Luas Dua masalah yang menjadi motivasi dua pemikiran terbesar dalam kalkulus, yakni : - Masalah garis singgung yang membawa kita kepada.
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUKABUMI
Matakuliah : R0262/Matematika Tahun : September 2005 Versi : 1/1
Teorema A. Teorema Dasar Kalkulus Kedua
INTEGRAL TENTU DAN PENERAPAN
INTEGRAL TENTU DAN PENERAPAN
PERTEMUAN 6 MATEMATIKA DASAR
Fungsi Naik Fungsi f yang didefinisikan pada suatu selang dikatakan naik pada selang tersebut, jika dan hanya jika f(x1) < f(x2) apabila x1 < x2 Dimana.
Kalkulus 3 Fungsi Ari kusyanti.
PROGRAM LINEAR sudir15mks.
BAB 2 INTEGRAL LIPAT.
ANTI TURUNAN, PENDAHULUAN LUAS & NOTASI SIGMA
Matematika Pertemuan 6 Matakuliah : D0024/Matematika Industri II
KALKULUS 2 INTEGRAL.
Integral.
15 Kalkulus Yulius Eka Agung Seputra,ST,MSi. FASILKOM
Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva
Peta Konsep. Peta Konsep E. Merumuskan dan Menghitung Volume Benda Putar.
Peta Konsep. Peta Konsep E. Merumuskan dan Menghitung Volume Benda Putar.
Gunawan.ST.,MT - STMIK-BPN
GunawanST.,MT - STMIK-BPN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUKABUMI
INTEGRAL TENTU DAN PENERAPAN
Tim Pengampu MK Kalkulus II Tel-U
Barang yang diturunkan ke bidang miring
7. APLIKASI INTEGRAL.
Pertemuan 13 Bab 7 – Penggunaan Integral 1
Integral lipat.
Sudiarto, SMK Negeri 5 Jember, 2013/2014 INTEGRAL Disusun oleh: Sudiarto, S.Pd, M.Pd NIP SMK NEGERI 5 JEMBER MULAI y a x 0 b.
INTEGRAL RANGKAP INTEGRAL GANDA
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x)  0, sumbu x, garis x = a dan garis x = b dirumuskan: Diatas Sumbu X (+)
Transcript presentasi:

INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA BAB VIII INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA

8.1 Integral tentu Sebelum membahas tentang integral tentu, terlebih dahulu kita akan membicarakan luas bidang pada koordinat Kartesius. Menentukan luas bidang tersebut sesederhana seperti kita menentukan luas bidang seperti lingkaran, persegi panjang, segitiga atau bangun-bangun sederhana lainnya. Cara yang sederhana untuk menentukan luas bidang yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu x, x = x1 dan x = x2 kita harus membagi bidang tersebut menjadi beberapa bagian. Makin banyak pembagian bidang tersebut akan semakin akurat pula hasilnya.

x y f(x) (a) (b) Gambar 8.1 a b a b Bidang yang terletak dibawah grafik f (a) (b) Sejumlah persegi panjang yang terletak dibawah grafik f Gambar 8.1

Pembagian bidang menjadi sejumlah n persegi panjang dapat berupa Gambar 8.1(a) atau (b). Pada analisa berikut kita akan membagi bidang seperti Gambar 8.1(a). Misal terdapat suatu bidang R yang terletak pada koordinat kartesius yang dibatasi oleh garis x=a, garis x=b, sumbu x dan grafik f yang kontinu dan tak negatif pada selang tertutup [a,b]. Jika luas bidang R adalah A, maka untuk menentukan luas A yang mendekati harga sebenarnya adalah dengan jalan membagi bidang tersebut menjadi beberapa persegi panjang yang mempunyai lebar yang sama (lihat Gambar 8.1(a)).

Misal luas seluruh persegi panjang pada Gambar 8.1(a) adalah Ai. Jika lebar setiap persegi panjang sangat kecil, maka luas Ai  A. Jika selang tertutup [a,b] dibagi menjadi n sub-selang dengan lebar x maka akan didapat x = (b-a)/n. Selanjutnya dengan memilih batasan sub-selang x0 , x1 , x2 , … xn dengan x0 = a dan xn = b, maka seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.2 berikut.

f(x) 0 x0 =a x1 x2 xk-1 uk xk xn =b y x f(uk ) Gambar 8.2

Sehingga, x0 =a ; x1 =a+x ; x2 =a+2x ; x3 =a+3x ; xk-1 =a+(k-1)x ; xk =a+kx ; xn =a+nx Luas persegi panjang adalah Ai = f(u1) x + f(u2) x + … + f(uk) x + f(un) x Jika menggunakan notasi penjumlahan “”, maka Persamaan 8.2 disebut jumlah Riemann dan f(uk) adalah harga minimum f pada sub-selang tertutup [xk-1,xk]. Jika jumlah persegi panjang (n) sangat besar maka x menjadi sangat kecil.

Luas bidang (A) yang dibatasi oleh f(x), sumbu x, x0 = a dan xn = b sama dengan luas persegi panjang Ai bila x sangat kecil (atau n sangat besar). Dalam bentuk rumus dapat ditulis, Definisi Misal terdapat suatu fungsi f yang kontinu pada selang tertutup [a,b]. Integral tentu fungsi f dari a ke b didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann atau,

Dari Gambar 8.2 dan persamaan 8.1 didapat 8.2 Sifat-sifat integral tentu Berdasarkan persamaan 8.5 maka dapat ditentukan sifat utama integral tentu yaitu, F(x) adalah anti turunan f(x)

Sifat-sifat integral tentu lainnya 4. Jika f terintegralkan pada [a,b] dan c adalah sembarang bilangan ril, maka cf terintegralkan pada [a,b].

5. Jika f dan g terintegralkan pada [a,b] maka f+g dan f–g juga terintegralkan pada [a,b]. 6. Jika a < c < b dan f(x) terintegralkan pada [a,c] dan [c,b], maka f(x) terintegralkan pada [a,b].

7. Jika f terintegralkan pada [a,b] dan f  0 untuk setiap x yang terletak pada [a,b], maka Contoh 8.1 Selesaikan Penyelesaian

8.3 Luas Bidang Secara umum bidang yang berada pada koordinat Kartesius dibatasi oleh y1 = f(x), y2 = g(x), x1 = a dan x2 = b. Bidang tersebut ditunjukkan oleh bidang yang diarsir pada Gambar 8.3. Luasnya bidang adalah

f(x) g(x) x y x1=a x2=b Gambar 8.3

Bentuk khusus dari bidang pada Gambar 8.3 adalah bidang seperti yang terlihat pada Gambar 8.4, yaitu bidang yang dibatasi oleh y1 = f(x), y2 = 0, x1 = a dan x2 = b. Luas bidang adalah

f(x) x y x1= a x2= b Gambar 8.4

x2 ¼ x2 y x x = 3 x = 1 Contoh 8.2 Penyelesaian

Contoh 8.3 Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh x2 +1, ¼x2 +4 , x = 0 dan x = 3. Penyelesaian

x=2 x=3 x y y= x2 +1 y = ¼x2 +4

8.4 Volume dan luas kulit benda putar Jika suatu grafik fungsi diputar mengelilingi sumbu x, maka akan terbentuk suatu benda putar yang mempunyai volume dan luas kulit tertentu. Grafik fungsi dapat juga diputar mengelilingi sumbu y. Pada Gambar 8.5 diperlihatkan suatu fungsi f(x) yang diputar mengelilingi sumbu x. Akibatnya akan terbentuk suatu benda putar seperti Gambar 8.5 b. Volume benda putar dapat ditentukan dengan cara menganalisa elemen tipis yang mempunyai ketebalan x.

y f(x) x x=a x=b (a) x xi f(x) y x x1=a xn=b (b) Gambar 8.5

Luas kulit elemen (A) = 2 [f(xi)] x Berdasarkan persamaan 8.4 maka luas kulit benda putar dapat ditulis menjadi Volume elemen (V) = [f(x)]2 .x

Jadi volume benda putar adalah Jika f(x) diputar mengelilingi sumbu y, maka akan terbentuk bangun seperti Gambar 8.6 berikut. y2 =b y x f(y) y1=a Gambar 8.6

Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, maka luas kulit benda putar yang diputar mengelilingi sumbu y adalah Sedangkan volumenya adalah Contoh 8.4 Tentukan luas kulit dan volume benda putar jika y = ¼ x3 Diputar mengelilingi: a) sumbu x mulai dari x=1 sampai x=3 b) sumbu y mulai dari y=1 sampai y=2

y x f(x) Penyelesaian Grafik y = ¼ x3

y x x=1 x=3 a) Perputaran mengelilingi sumbu x dari x=1 sampai x=3

b) Perputaran mengelilingi sumbu y dari y=1 sampai y=2 x y=2 y=1