SISTEM BILANGAN REAL/RIIL Komponen Bilangan Real Aksioma Lapangan/Medan Aksioma Urutan Aksioma Kelengkapan Interval Dosen Pengampu Mata Kuliah Roy Sari Milda Siregar, ST, M.Kom

Bilangan riil atau sering disebut juga bilangan real dalam matematika menyatakan suatu bilangan yang dapat dibentuk menjadi desimal seperti 3.2678. Bilangan riil ini meliputi bilangan rasional yang direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir dan bilangan irasional yang direpresentasikan dalam bentuk desimal berulang. Untuk bilangan riil sendiri direpresentasikan sebagai salah satu titik pada garis bilangan.

Gambar disamping merupakan simbol yang sering digunakan untuk bilangan riil, sehingga kita akan lebih mudah untuk mengingatnya.

Sifat-sifat Bilangan Riil : 1. Aksioma Medan Bilangan Riil dalam operasi penjumlahan dan perkalian memenuhi aksioma berikut ini. Misalkan x dan y merupakan bilangan riil dimana x+y suatu operasi penjumlahan dan xy suatu operasi perkalian. Aksioma 1 ( hukum komutatif ) yaitu x+y=y+x dan xy=yx Aksioma 2 ( hukum asosiatif ) yaitu x+(y+z)=(x+y)+z dan x(yz)=(xy)z Aksioma 3 ( hukum distributif ) yaitu x(y+z)=xy+xz Aksioma 4 (eksistensi unsur identitas). Identitas untuk penjumlahan 0 dan untuk perkalian 1 yang menjadikan 0+x=x dan 1.x=x. Aksioma 5 (eksistensi negatif / invers) terhadap penjumlahan dimana x+y=0 maka dapat ditulis y=-x. Aksioma 6 (eksistensi resiprokal/invers) terhadap perkalian dimana xy=1 sehingga kita dapat melambangkan y=1/x Himpunan yang memenuhi aksioma-aksioma diatas disebut medan, oleh karena itu aksioma-aksioma diatas disebut aksioma medan.

2. Aksioma Urutan Disini kita akan mengasumsikan terdapat R+ yaitu bilangan riil positif, misalnya x dan y anggota R+, maka akan memenuhi aksioma : Aksioma 7 yaitu xy dan x+y anggota R+. Aksioma 8 yaitu untuk setiap x≠0 , x anggota R+ atau -x anggota R+, namun tidak mungkin keduanya sekaligus. Aksioma 9 yaitu 0 bukan merupakan anggota R+.

3. Aksioma Kelengkapan Aksioma 10 yaitu setiap anggota bilangan riil S yang memiliki batas atas memiliki supremum, yaitu ada bilangan riil B sehingga B=sup(S). Contoh cara mengubah pecahan biasa kedesimal

contoh cara mengubah persen ke pecahan contoh cara mengubah pecahan ke persen contoh cara mengubah persen ke pecahan

INTERVAL Mila sedang memberikan jangka waktu. Istilah matematikanya adalah interval. Interval adalah himpunan bilangan real yang berada di antara dua bilangan tertentu sebagai batas. Mari kita mencoba memahami definisi tersebut. IntervalHimpunan bilangan-bilangan real yang berada di antara dua bilangan tertentu sebagai batas.

Himpunan bilangan real Lebih tepatnya, himpunan bagian dari himpunan bilangan real. Interval adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan real, berarti di dalamnya bisa mencakup bilangan-bilangan berikut: 1 7.14 -19.4252 ½ -3¼ -√3 (√5-1) π

Antara dua bilangan tertentu sebagai batas Berarti bilangan yang kita maksud tidak boleh sembarangan. Mila membatasi dengan bilangan 20 dan 30, berarti bilangan real yang kita miliki harus berada di antara dua bilangan tersebut. 20.5 26.2 27½ 20√2 29.99999

Batasnya ikut atau tidak? Nah, di sini ada sebuah pertanyaan penting. Ketika Mila mengatakan, Antara 20 hingga 30, apakah berarti Bomi boleh mematikan panggangannya tepat 20 menit atau tidak? Mila bisa memaksudkan beberapa macam, dan ini harus jelas dibedakan. Apa sajakah yang mungkin Mila maksudkan?

Empat macam kemungkinan interval yang dimaksudkan Mila. Keterangan Batas minimal (20) ikut? Batas maksimal (30) ikut? Istilah 20 menit boleh, di antaranya boleh, 30 menit juga boleh. V Interval tertutup 20 menit boleh, di antaranya boleh, namun 30 menit tidak boleh. X Interval terbuka-kanan 20 menit tidak boleh, di antaranya boleh, namun 30 menit boleh. Interval terbuka-kiri 20 menit tidak boleh, di antaranya boleh, 30 menit juga tidak boleh. Interval terbuka

Jadi ada empat kemungkinan interval yang bisa dimaksud oleh Mila, yaitu interval tertutup (closed interval), interval terbuka (open interval), interval terbuka-kiri(left-open interval), dan interval terbuka-kanan (right-open interval). Seringkali yang kita maksudkan ketika mengatakan, antara 20 hingga 30, adalahinterval tertutup. Tetapi sebenarnya bisa ada empat kemungkinan arti, yang kadang-kadang perlu kita perjelas.

Bagaimana jika tidak terbatas? Kadang-kadang kita perlu mengatakan, lebih lama dari 3 tahun. Ungkapan itu hanya memberi satu batas, yaitu 3 tahun sebagai batas minimal (terbuka - karenalebih). Tetapi berapakah batas maksimalnya? Tidak ada. Interval semacam ini disebut sebagai interval terbatas-kiri (left-unbounded interval), karena ada batas minimal, namun tidak ada batas maksimalnya. Dengan demikian, kita juga bisa membagi interval dalam empat jenis berdasarkan ada tidaknya batas.

Empat macam kemungkinan interval berdasarkan ada tidaknya batas. Keterangan Batas minimal ada? Batas maksimal ada? Istilah Antara 20 hingga 30 menit. V Interval terbatas (bounded) Lebih dari 30 menit. X Interval terbatas-kiri (left-bounded) Kurang dari 30 menit. Interval terbatas-kanan (right-bounded) Berapa saja boleh. Tidak ada batasan. Interval tak terbatas(unbounded)

INTERVAL-INTERVAL KHUSUS Dalam matematika kita harus sebisa mungkin mencakup segala macam kemungkinan. Maka sekarang kita harus memperhatikan kemungkinan berikut. Apakah artinya kita mengatakan, antara 20 menit hingga 20 menit? Interval degeneratif Konsep degenerasi dalam matematika berarti hal yang kita bicarakan sebenarnya berbeda jauh, tetapi bisa kita andaikan sama. Ada perbedaan yang besar antara konsep interval dengan sebuah bilangan tunggal. Interval adalah kumpulan bilangan yang berada dalam batas tertentu. Bilangan tunggal hanya terdiri dari satu bilangan saja. Kita tidak perlu membatasinya. Namun, kita bisa memperluas konsep interval ini untuk juga mencakup bilangan tunggal. Ketika kita mengatakan interval tertutup, 20 menit hingga 20 menit,sama saja kita sedang mengatakan, tepat 20 menit. Sehingga bilangan tunggal dapat juga dinyatakan dalam interval.

Interval kosong Konsep kosong juga sangat membantu berbagai hal dalam matematika. Interval disebut kosong ketika interval tersebut tidak mengandung bilangan apa pun. Misalnya, Kurang dari 20 namun lebih dari 30. Tidak ada bilangan real yang berada dalam interval tersebut, maka interval tersebut kosong.

NOTASI INTERVAL

LATIHAN Selesaikan soal-soal pada SAP

SELESAI