MATRIKS

NOTASI MATRIKS Notasi A = (aij) Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n. Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks Notasi A = (aij) Dengan i = 1,2,...,m j = 1,2,...,n A = 2

JENIS –JENIS MATRIKS Matriks persegi adalah matriks yang berukuran n x n Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol 3

JENIS –JENIS MATRIKS Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D. Contoh : Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama Onal 4

JENIS –JENIS MATRIKS Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1. Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol 5

Dua matriks dapat dijumlahkan jika mempunyai ukuran yang sama. contoh

Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom pada matriks pertama sama dengan banyak baris pada matriks kedua. Contoh

DETERMINAN MATRIKS Setiap matriks persegi memiliki nilai determinan Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular. 8

Ada beberapa cara untuk menentukan determinan, diantaranya adalah: NOTASI DETERMINAN Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks persegi Determinan A ditulis sebagai det (A) det(A) sering dinotasikan |A| Ada beberapa cara untuk menentukan determinan, diantaranya adalah: Determinan dengan cara Sarrus Determinan dengan cara Ekspansi Kofaktor Determinan dengan cara Operasi Baris Elementer (OBE) 9

NOTASI DETERMINAN Pada matriks 2x2 cara menghitung nilai determinannya adalah : Contoh : 10

METODE SARRUS Pada matriks 3x3 cara menghitung nilai determinannya adalah menggunakan Metode Sarrus Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3 11

Contoh : Tentukan determinan matriks Jawab : = 1

METODE SARRUS Nilai Determinan dicari menggunakan metode Sarrus det(B) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1) = 2 +12+0+6-0-2 = 18 13

MINOR Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde n dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. Dinotasikan dengan Mij Contoh Minor dari elemen a₁₁ 14

MINOR Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3) 15

KOFAKTOR MATRIKS Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan Contoh : Kofaktor dari elemen a23 16

TEOREMA LAPLACE Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya 17

TEOREMA LAPLACE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama |A| 18

TEOREMA LAPLACE Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua |A| Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris ketiga 19

TEOREMA LAPLACE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama |A| 20

TEOREMA LAPLACE Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom kedua |A| Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom ketiga 21

Contoh Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor : Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3

= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33 = 0 – 2 + 6 = 4

Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-3 = 0 – 2 + 6 = 4

Tentukan determinan matriks berikut dengan cara Sarrus dan Kofaktor:

Penyelesaian maka det (A) = 2.3.9 + 4.5.7 + 6.1.8 – 6.3.7 – 2.5.8 – 4.1.9 = 54 + 140 + 48 – 126 – 80 – 36

Dengan ekspansi kofaktor = 2.(27 – 40) – (36 – 48) + 7.(20 – 18) = - 26 + 12+ 14 = 0

soal Tentukan k jika det(D) = 29

Sifat-sifat determinan Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan. Jadi, Contoh: Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, determinan matriks itu sama dengan nol.

Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, kecuali satu unsur, determinannya sama dengan hasil kali unsur itu dengan kofaktornya. Pertukaran dua baris atau dua kolom sembarang akan mengubah tanda determinan.

Jika semua unsur dalam suatu baris (atau kolom) dikalikan dengan sebuah bilangan, determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu. Jika dua baris (atau kolom) sama atau sebanding, determinannya sama dengan nol.

Jika kita mengalikan unsur-unsur suatu baris (atau kolom) dengan sebuah bilangan kemudian dijumlahkan dengan unsur-unsur yang bersesuaian dengan suatu baris (atau kolom) yang lain, nilai determinannya tetap. Jika A dan B dua matriks persegi yang berukuran sama, maka det(AB) = det(A).det(B)

Menentukan Determinan dengan cara OBE Tentukan det(A) Pertukarkan R1 dengan R2  det(B)=-det(A)

Bagilah R1 dengan 3  det(B)=k.det(A) R3 -2*R1

R3 -10*R2

Tentukan det matriks berikut dengan cara OBE dan ekspansi kofaktor

Aturan Cramer Untuk mencari solusi dari SPL (Sistem Persamaan Linear) tertentu (matriks nxn) Teorema :Jika Ax=b merupakan suatu sistem n persamaan linier dalam n peubah sedemikian sehingga det(A) ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian yang unik (tunggal).

Sistem Persamaan Linear

. . . dengan Aj adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan anggota kolom ke j dari A dengan anggota matriks b

Tentukan penyelesaian dari SPL berikut dengan menggunakan aturan cramer 1) -2x + 3y + 4z = 12 3x + 4y – 2z =-15 5x + 6y – 3z =-22 2) X1 + 2X3 = 6 -3X1 + 4X2 + 6X3 = 30 -X1 – 2X2 + 3 X3 = 8

=