Integral Lipat Dua PERTEMUAN TGL 8-12-2007 b R n Integral lipat dua dapat dinyatakan dengan integral tertentu. Integral tertentu yang pernah dipelajari pada kalkulus I, yaitu : b a f ( x) dx integral ditentukan terhadap fungsi f(x) dalam interval a x b . Pada integral lipat dua : f (x, y) dy dx R Integral tersebut didefinisikan terhadap f(x,y) dalam daerah tertutup R dari bidang xy. Dan untuk selanjutnya R dianggap terbatas, atau integral lipat dua merupakan integral tertentu. Jika daerah R dibagi menjadi kotak-kotak dengan luas masing-masingiA seperti pada gambar di bawah dngan i adalah luas kotak yang ke-i, maka terbentuklah jumlah kotak : f ( x , y ) n 11 i i i A y R O x http://www.mercubuana.ac.id 1
x2 B. Volume [ f 2 ( x) f 1 ( x) ] dx L L dy dx Luas untuk daerah dua dimensi Volume Massa dari bidang 2D Gaya pada bidang 2D Rata-rata sebuah fungsi Pusat massa dan momen inersia Luas permukaan A. Luas untuk daerah dua dimensi. Kita mengenal integral untuk luas pada kalkulus I untuk luas antara dua kurva seperti di bawah. y f1(x) f2(x) O x1 x2 [ f 2 ( x) f 1 ( x) ] dx x L x2 x1 Jika kita jadikan dua integral dengan batas-batas f1(x) dan f2(x) akan menjadi : L x2 f 2 ( x ) f1 ( x ) dy dx x1 B. Volume http://www.mercubuana.ac.id 3
( x x ( x x L ) dx L dy dx dx y ) dx 1 2 2 Menurut integral yang pernah dipelajari yaitu single integral maka : ( x x 1 L 2 ) dx dan menggunakan integral lipat dua menjadi : 1 x 1 x 2 L dy dx dx ( x x 1 y ) dx 2 x 2 x 1 2 2 1 3 x 3 1 2 1 3 1 6 x 1 2. Cari volume yang dibatasi oleh bidang z = 4, dimana R adalah daerah 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3. Jawab : z http://www.mercubuana.ac.id 4 5