DETERMINAN Pengertian Determinan Perhitungan Determinan Matriks Bujur Sangkar Sifat-sifat Determinan Menghitung Determinan Menggunakan Sifat-Sifat Determinan Aplikasi Determinan pada Geometri Latihan Soal

1. Pengertian Determinan Determinan adalah nilai real yang dihitung berdasarkan nilai elemen-elemennya, menurut rumus tertentu. simbol det(A) atau |A|. Jika nilai det(A)=0, maka matriks bujur sangkar tersebut singular, artinya tidak memiliki invers, Jika nilai det(A) 0, maka berarti matriks A tersebut nonsingular, yaitu matriks tersebut punya invers.

2. PERHITUNGAN DETERMINAN MATRIKS BUJUR SANGKAR A. DETERMINAN MATRIKS ORDO 2X2 det(A) =

metode Sarrus B. DETERMINAN MATRIKS ORDO 3x3 Salin kembali kolom ke 1 dan ke 2 kemudian ditempatkan disebelah kanan tanda determinan.

Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama, dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama. Nyatakan jumlah hasil kali dengan (+). 5/1/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

Hitunglah jumlah hasil kali jumlah elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder. Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan A(-). 5/1/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

5/1/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

C. Minor dan Kofaktor D. Determinan Matriks Ordo n x n Jika Aij : matriks A dengan elemen-elemen baris ke-i dan elemen-elemen kolom ke-j dibuang. maka : minor Aij = det (Aij) dan kofaktor Aij = det (Aij). D. Determinan Matriks Ordo n x n Determinan matriks Ordo n x n dihitung menggunakan teorema Laplace. 5/1/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

Contoh Minor dan Kofaktor Andaikan A berdimensi n, determinan dari submatriks yg berdimensi (n-1) disebut minor. 5/1/2018 Mrs : minor dari submatriks dng menghilangkan baris ke r kolom ke s. a11 a12 a13 a11 a13 = a11a23 – a13a21 Andaikan A = M32 = a21 a22 a23 a21 a23 a31 a32 a33 destyrakhmawati@yahoo.com M11 = a22 a23 Untuk matriks A berdimensi 3 tersebut ada berapa minor ? = a22 a33 – a23 a32 a32 a33 Matriks tersebut mempunyai 9 minor

Kofaktor Kofaktor yang berhubungan dengan minor Mrs adalah Crs = (-1)r+s Mrs. 5/1/2018 A = C23 = - M23 = 0 C11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2 = 1 (7) = 7 C31 = M31 = 7 C12 = (-1)1+2 M12 = (-1)3 = (-1) (9) = -9 destyrakhmawati@yahoo.com C13 = (-1)4 M13 = M13 = = 5 C32 = - M32 = - 9 C21 = (-1)3 M21 = - M21 = - = 0 C33 = M33 = 5 C22 = M22 = 0

,dengan j sembarang disebut ekspansi kolom ke-j. Teorema Laplace: det (A) = jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-faktornya. , dengan i sembarang disebut ekspansi baris ke j ,dengan j sembarang disebut ekspansi kolom ke-j. dan Kof(Aij) adalah kofaktor dari Aij 5/1/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

Contoh menghitung determinan dengan teorema laplace dengan ekspansi kolom ke 1 5/1/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

Contoh menghitung determinan dengan teorema laplace dengan ekspansi baris ke 1 5/1/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

3. Sifat-sifat Determinan   5/1/2018 destyrakhmawati@yahoo.com

4. Menghitung Determinan menggunakan Sifat-Sifat Determinan 1. Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama; |AT| = |A| 5/1/2018 |A| = = 26 |AT| = = 26 Akibatnya : semua sifat determinan berlaku secara baris / dan secara kolom. destyrakhmawati@yahoo.com 2. Matriks persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, determinannya nol (0). det(B) = = 0 det(C) = = 0

dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A 3. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom) dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A Jika baris kedua dikalikan dengan 7 |A| = = 35 = 7 |A| 5/1/2018 |A| = 5 = 7 (5) = 35 Akibat sifat ini : = 7 Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyai faktor yang sama, maka sudah dapat difaktorkan. destyrakhmawati@yahoo.com = 4 = 3

menjadi negatif determinan semula. 4. Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah menjadi negatif determinan semula. 5/1/2018 = 31 Baris pertama ditukar baris kedua = – 31 5. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama adalah sama dengan 0 (nol). destyrakhmawati@yahoo.com = 0 = 0

Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, |B| = 0 6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya) merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan 0 (nol). |B| = 5/1/2018 Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, |B| = 0 7. Determinan dari matriks persegi A = (aij) berdimensi n yang baris ke -i (kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku yang kedua. destyrakhmawati@yahoo.com = + = +

(kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain. 8. Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris (kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain. = 11 Sifat ke 8 ini sering dipakai untuk menyederhanakan baris (kolom), sebelum menghitung nilai determinan 5/1/2018 Jika k2 + 3k1 = 11 = 11 Jika b1 – b2 9. Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemen-elemen diagonalnya. destyrakhmawati@yahoo.com = (3)(-1)(5) = - 15 = (-3)(-2)(4)(1) = 24

Gunakan sifat determinan untuk menghitung : b3 – 2 b1 b2 + 3b1 b3 + 3 b2 5/1/2018 = (1)(-1)(3) = - 3 destyrakhmawati@yahoo.com Petunjuk umum : Gunakan sifat ke 8, untuk mereduksi matriks menjadi matriks segitiga; kemudian gunakan sifat ke 9

Submatriks / matriks bagian : Matriks yang diperoleh dengan menghilangkan beberapa baris dan/atau beberapa kolom dari suatu matriks 5/1/2018 A = Menghilangkan baris pertama diperoleh submatriiks : destyrakhmawati@yahoo.com Menghilangkan baris kedua dan kolom ketiga diperoleh submatriks : dan sebagainya.

5. APLIKASI DETERMINAN PADA GEOMETRI Persamaan Garis Lurus yang Melewati Dua Titik

Persamaan Bidang Datar yang Melewati Tiga Titik