PERSAMAAN DIFERENSIAL 1. Pengantar t y y/ = 2t +1 y(0) = 1 Solusi analitis: y = t2 + t + 1 Solusi analitis Solusi numerik: Pasangan bilangan berurutan (x,y) Solusi numerik Diketahui y(0)=1

Berapakah nilai-nilai y yang (dianggap) benar jika t berturut- PD Order kesatu: y=g(t) y Misalkan solusi PD itu adalah Berapakah nilai-nilai y yang (dianggap) benar jika t berturut- turut dinaikkan sebesar Δt, 2Δt, 3Δt, , , , b Δt Δt Δt a t

2. Metode Euler Pada t1=a+Δt, nilai y adalah y1=b+Δy y=g(t) y b a Δy

2. Metode Euler Pada t1=a+Δt, nilai y adalah y1=b+Δy y=g(t) y

Contoh 1: Dengan metode Euler, dapatkan y(t) dari 0 < t < 0,5 dengan Δt=0,1 jika diketahui Penyelesaian: t0=0, y0 = 1, t1=0,1, y1 = 1,

Tetapkan tawal, Δt dan takhir dy/dt=2t t y eksak tn=tawal 1 1 yn = b 1 0,1 1 0,2 1,01 2 0,2 1,02 0,4 1,04 ? tn<takhir tdk 3 0,3 1,06 0,6 1,09 4 0,4 1,12 0,8 1,16 ya 5 0,5 1,2 1,25 Hitung S=f(tn,yn) yn+1=yn+S*Δt tn=tn-1+Δt n=n+1 Selesai

3. Metode Runge-Kutta PD order kesatu:

Contoh 2: Dengan metode RK, dapatkan y(t) dari 0 < t < 0,5 dengan Δt=0,1 jika diketahui Penyelesaian: hanya merupakan fungsi t saja 1 1. Pada t1=0,1 dgn: Δt = 0 Shg:

2. Pada t2 = 0,2 dgn: Shg:

n

4. Persamaan Diferensial Order Kedua Dinyatakan sebagai sistem persamaan diferensial yang terdiri dari dua persamaan diferensial masing-masing order kesatu. Contoh: Didefinisikan: Sehingga

Bentuk matrik: n1 n2 u(t) Atau:

4.1 Metode Runge-Kutta

Contoh 3: Dapatkan Tegangan v(t) dari 0 < t < 0,25 dengan Δt=0,05 jika diketahui Penyelesaian: Bentuk matrik:

Atau

1.Pada t1=0+0,05=0,05 dt:

Hasil lengkap 0 < t < 1,0 x1 x2 k1 k2 k3 k4 0,00 100,0000 400,0000 20,0000 -280,0000 13,0000 -218,0000 14,5500 -230,7000 8,4650 -176,2900 1 0,05 113,9275 174,3850 8,7193 -178,3345 4,2609 -137,2386 5,2883 -145,7292 1,4328 -109,7005 2 0,10 118,8026 32,0566 1,6028 -111,0703 -1,1739 -83,9439 -0,4958 -89,6148 -2,8779 -65,8663 3 0,15 118,0335 -55,2858 -2,7643 -66,7839 -4,4339 -48,9822 -3,9888 -52,7648 -5,4025 -37,2104 4 0,20 113,8648 -106,5338 -5,3267 -37,8249 -6,2723 -26,2380 -5,9826 -28,7565 -6,7645 -18,6606 5 0,25 107,7646 -134,2796 -6,7140 -19,0719 -7,1908 -11,6183 -7,0044 -13,2910 -7,3785 -6,8228 6 0,30 100,6841 -146,8985 -7,3449 -7,0980 -7,5224 -2,3856 -7,4046 -3,4927 -7,5196 0,5720 7 0,35 93,2310 -149,9456 -7,4973 0,3880 -7,4876 3,2899 -7,4150 2,5605 -7,3693 5,0397 8 0,40 85,7857 -147,0908 -7,3545 4,9168 -7,2316 6,6294 -7,1888 6,1521 -7,0469 7,5918 9 0,45 78,5787 -140,7455 -7,0373 7,5098 -6,8495 8,4473 -6,8261 8,1378 -6,6304 8,9018 10 0,50 71,7422 -132,4819 -6,6241 8,8472 -6,4029 9,2850 -6,3920 9,0871 -6,1697 9,4172 11 0,55 65,3449 -123,3138 -6,1657 9,3810 -5,9312 9,5020 -5,9281 9,3779 -5,6968 9,4345 12 0,60 59,4148 -113,8846 -5,6942 9,4105 -5,4590 9,3356 -5,4608 9,2602 -5,2312 9,1491 13 0,65 53,9539 -104,5927 -5,2296 9,1332 -5,0013 8,9418 -5,0061 8,8983 -4,7847 8,6890 14 0,70 48,9491 -95,6757 -4,7838 8,6786 -4,5668 8,4225 -4,5732 8,3997 -4,3638 8,1373 15 0,75 44,3778 -87,2656 -4,3633 8,1306 -4,1600 7,8433 -4,1672 7,8338 -3,9716 7,5475 16 0,80 40,2129 -79,4269 -3,9713 7,5432 -3,7828 7,2459 -3,7902 7,2448 -3,6091 6,9529 17 0,85 36,4252 -72,1807 -3,6090 6,9502 -3,4353 6,6563 -3,4426 6,6603 -3,2760 6,3742 18 0,90 32,9850 -65,5211 -3,2761 6,3725 -3,1167 6,0898 -3,1238 6,0968 -2,9712 5,8232 19 0,95 29,8636 -59,4263 -2,9713 5,8222 -2,8258 5,5552 -2,8324 5,5637 -2,6931 5,3063 20 1,00 27,0335 -53,8652 -2,6933

20 40 60 80 100 120 140 v(t) t

SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL

SPD dengan koefisien tetap: x = Ax + bu(t) x(0) = b l Dalam hal ini: