DIFERENSIASI FUNGSI MAJEMUK http://www.mercubuana.ac.id MODUL 10. DIFERENSIASI FUNGSI MAJEMUK Tujuan Instruksional Khusus : 1. Mahasiswa memahami diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari 1 macam variable bebas. Daftar Isi : A. Diferensiasi Parsial B. Derivatif dari derivatif parsial C. Nilai Ektrim (optimum) : Maksimum dan Minimum D. Optimisasi Bersyarat Pustaka : Dumairy ( 1999). Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Ed.2. BPFE. Yogyakarta.
p dq ds y x y z dx, dz : diferensial parsial 2). p = f ( q , r , s ) p q p q pp , a). fq (q,r,s) = , :derivatif parsial rs p r s b). fr (q,r,s) = c). fs (q,r,s) = y q p r p s dp dq y dq, q dr dr, ds : diferensial total : diferensial parsial y x Menurunkan y tehadap x dilambangkan , hanya suku-suku yang mengandung variabel x yang diperhitungkan, sedangkan suku-suku yang tidak mengandung variabel x sebagai konstanta dan turunannya nol. y z Menurunkan Y terhadap Z : Misal : y = 3x2 – 8xz – 6z2 y x z = 6x – 8z = -8x – 12 z ‘12 Matematika Bisnis Ir. Suprapto M.Si. 82 Pusat Pengembangan Bahan Ajar Universitas Mercu Buana http://www.mercubuana.ac.id
2 y zx z 2 3 y zx 2 z 2x (2a.1) . (2a.2). (2b.1). terhadap x terhadapa z terhadap x. : = -8 = - 12 = -12 2 y z 2 3 y z 3 (2b.2). terhadap z. : = Karena tinggal konstanta maka turunan parsial ketiga tidak dapat lagi diturunkan secara parsial. C. Nilai Ektrim (optimum) : Maksimum dan Minimum - Nilai optimum dari sebuah fungsi yang mengandung > 1 variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif kedua. Untuk y = f(x , z) maka y akan mencapai titik ekstrim jika : y x y z =0 , =0 Untuk mengetahui apakah titik ekstrim itu berupa ttk. Maksimum atau minimum, diperlukan syarat: 2 y x 2 2 y z 2 Maksimum bila Minimum bila <0 >0 dan <0 >0 Contoh 1). Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini merupakan titik maksimum atau ‘12 Matematika Bisnis Ir. Suprapto M.Si. 84 Pusat Pengembangan Bahan Ajar Universitas Mercu Buana http://www.mercubuana.ac.id