Matematika Informatika 1 Matriks Matematika Informatika 1

Definisi dan Notasi Matriks Matriks adalah susunan segiempat bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom. Masing-masing bilangan dalam matriks ( 𝑎 𝑖𝑗 ) disebut entri atau elemen. Ordo (ukuran) matriks adalah banyak baris (m) kali banyak kolom ( n). Elemen matriks A disebut bilangan atau skalar. a11 a12…….a1j ……a1n a21 a22 ……a2j…….a2n : : : : ai1 ai2 ……aij…….. ain : : : : am1 am2……amj……. amn Notasi Matriks: A = (aij) Elemen: (A)ij = aij Ordo A: m x n A = baris kolom

Kesamaan Dua Matriks Dua matriks A dan B dikatakan sama jika ukuran keduanya sama dan elemen yang bersesuaian juga sama. A= B jika 𝑎 𝑖𝑗 = 𝑏 𝑖𝑗 untuk setiap 𝑖, 𝑗.

Jumlah dan Selisih Dua Matriks Dua matriks dapat dijumlahkan/dikurangkan jika ukurannya sama. Jika diberikan dua matriks berukuran sama 𝐴=( 𝑎 𝑖𝑗 ) dan 𝐵= (𝑏 𝑖𝑗 ), maka: 𝐴+𝐵 adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan entri A dengan entri B yang bersesuaian. 𝐴+𝐵=( 𝑎 𝑖𝑗 + 𝑏 𝑖𝑗 ) 𝐴−𝐵 adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri A dengan entri B yang bersesuaian. 𝐴−𝐵=( 𝑎 𝑖𝑗 − 𝑏 𝑖𝑗 )

Jumlah dan Selisih Dua Matriks 𝐴+𝐵 = = 𝐴−𝐵= = 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 A = 7 3 1 -2 4 -5 9 -4 3 B = 1+7 4+3 -9+1 3-2 7+4 0-5 5+9 9-4 -13+3 8 7 -8 1 11 -5 14 5 -10 1-7 4-3 -9-1 3--2 7 -4 0--5 5-9 9--4 -13-3 -6 1 -10 5 3 5 -4 13 -16

Perkalian Skalar Dua Matriks Diberikan matriks 𝐴 =( 𝑎 𝑖𝑗 ) dan skalar 𝑐, perkalian skalar 𝑐𝐴 diperoleh dengan mengalikan setiap entri matriks 𝐴 dengan c. 𝑐𝐴=(c. a ij ) Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar: 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 (𝐴+𝐵)+𝐶= 𝐴+(𝐵+𝐶) 𝐶 ( 𝐴 + 𝐵 ) 𝐴 = 𝑐𝐴 + 𝑐 𝐵 Contoh: Perkalian matriks 𝐴 dengan skalar 4 1 4 -9 3 7 0 5 9 -13 A = 4 16 -36 12 28 0 20 36 -52 4A =

Perkalian Dua Matriks Jika A = (𝑎𝑖𝑗) berukuran m x r , dan B = (𝑏𝑖𝑗) berukuran r x n, maka matriks hasil kali A dan B, yaitu C = AB mempunyai elemen-elemen yang didefinisikan sebagai berikut: 𝑘=1 𝑟 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 +𝑎𝑖2𝑏2𝑗+………𝑎𝑖𝑟𝑏𝑟𝑗 (𝐶)𝑖𝑗 = (𝐴𝐵)𝑖𝑗 = A B AB Syarat: m x r r x n m x n

Perkalian Dua Matriks Contoh: 1 2 7 -6 4 -9 11 3 𝐵 4𝑥2 = 2 3 4 5 1 2 7 -6 4 -9 11 3 𝐵 4𝑥2 = 2 3 4 5 8 -7 9 -4 1 -5 7 -8 𝐴 3𝑥4 = 2.1 +3.7+4.4+5.11 -35 -49 -35 -94 -55 94 -35 -49 -35 -94 -55 (𝐴 𝐵) 3𝑥2 = = B A = tidak terdefinisi

Transpose Matriks Jika matriks 𝐴 𝑎 𝑖𝑗 berukuran 𝑚 𝑥 𝑛 , transpose matriks 𝐴 adalah matriks 𝐴 𝑇 berukuran (𝑛 𝑥 𝑚) yang diperoleh dari matriks 𝐴 dengan menuliskan baris ke 𝑖 dari matriks 𝐴 menjadi kolom ke 𝑖 dari matriks 𝐴 𝑇 : 𝐴 𝑇 =( 𝑎 𝑗𝑖 ) Sifat Matriks Transpose: 𝐴+𝐵 𝑇 = 𝐴 𝑇 + 𝐵 𝑇 𝐴 𝑇 𝑇 =𝐴 𝑐 𝐴 𝑇 = 𝑐𝐴 𝑇 𝐴𝐵 𝑇 = 𝐵 𝑇 + 𝐴 𝑇

Beberapa Jenis Matriks Khusus Matriks Bujur Sangkar Matriks Nol Matriks Diagonal Matriks Identitas Matriks Skalar Matriks Segitiga Bawah Matriks Segitiga Atas Matriks Simetri Matriks Antisimetri Matriks Hermitian Matriks Invers Matriks Komutatif Matriks Idempoten, Periodik, dan Nilpotent

Transformasi Elementer pada Baris dan Kolom Transformasi Elamenter pada matriks adalah: 1. Penukaran tempat baris ke i dan ke j , ditulis 𝐻 𝑖𝑗 (𝐴) 2. Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j, ditulis 𝐾 𝑖𝑗 (𝐴) 3. Memperkalikan baris ke i dengan skalar λ≠ 0, ditulis 𝐻 𝑖 𝜆 (𝐴) 4. Memperkalikan kolom ke i dengan λ≠ 0, ditulis 𝐾 𝑖 𝜆 (𝐴) 5. Menambah baris ke i dengan λ kali baris ke j, ditulis 𝐻 𝑖𝑗 𝜆 (𝐴) 6. Menambah kolom ke i dengan λ kali kolom ke j,ditulis 𝐾 𝑖𝑗 𝜆 (𝐴)

Transformasi Elementer pada Baris dan Kolom Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalam satu langkah : Menambah λ kali baris ke i dengan 𝛽 kali baris ke j, ditulis 𝐻 𝑖 𝑗 𝜆 𝛽 (𝐴) Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4) Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi baris elementer (OBE)

Matriks Ekivalen Dua matriks dikatakan ekivalen (𝐴 ~ 𝐵) jika salah satunya dapat diperoleh dari transformasi - transformasi elementer baris dan atau kolom matriks yang satu lagi.