DIPERSEMBAHKAN OLEH B. GINTING MUNTHE, SPd NIP. 400 056 622 JUDUL : MATRIKS DIPERSEMBAHKAN OLEH B. GINTING MUNTHE, SPd NIP. 400 056 622

MATRIKS Pengertian Matriks Matriks adalah : kumpulan bilangan ( atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan bilangan yang tersusun tersebut disebut elemen – elemen atau komponen – komponen matriks. Nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital. Banyak baris x banyak kolom dari suatu matriks disebut Ordo matriks atau ukuran matriks.

Perhatikan contoh berikut : Kolom kolom kolom kolom 1 2 3 4 Matriks A tersebut terdiri dari 3 baris dan 4 kolom. Matriks A tersebut disebut berordo 3 x 4, atau dapat ditulis dengan A(3 x 4)

Secara umum Matriks dapat dituliskan sebagai berikut : Dalam hal ini aij disebut elemen matriks pada baris ke I dan kolom ke j.

2. Beberapa Jenis Matriks Khusus Matriks Nol ( 0 ) Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol. Contoh 1 :

Matriks Bujur Sangkar Matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Contoh 2:

Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar eleman utamanya bernilai nol. Contoh 3:

Matriks Skalar Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang elemen elemen pada diagonal utamanya bernilai sama. Contoh 4:

Matriks Identitas ( I ) Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen – elemen pada diagonal utamanya bernilai satu. Contoh 5 :

6. Matriks Segitiga Atas Matriks segitiga Atas adalah matriks bujur sangkar yang elemen – elemen dibawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh 6 :

Matriks Segitiga Bawah. Matriks segitiga Bawah adalah matriks bujur sangkar yang elemen – elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Contoh 7 :

3. OPERASI PADA MATRIKS Penjumlahan dan Pengurangan dua matriks. Dua buah matriks ( A dan B ) dapat dijumlahkan dan dikurangkan ababila kedua matriks berordo sama ( berukuran yang sama ).

Secara umum dapat dituliskan sbb : Jadi A + B = + A + B =

Dan A – B dapat dinyatakan sbb :

Contoh 8 : Diketahui matriks : dan Tentukan : a. A + B b. A - B Jawab : a.

Jawab b.

SIFAT – SIFAT PADA PENJUMLAHAN MATRIKS Sifat komutatif : A + B = B + A Sifat Asosiatif : (A + B)+C=A+(B+C) Sifat identitas (0) : A+0 = 0+A = A Sifat lawan (-A) : A+(-A) = 0

SOAL Diketahui : Tentukanlah matriks berikut jika ada ? A + B b. A + C C + D d. D + C A – B f. B – A g. C – D h. D - C

Jawab : b) A + C tidak ada karena ordonya tidak sama.

2. Perkalian Skalar dengan matriks Jika skalar dikalikan dengan matriks maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemen – elemenya merupakan perkalaian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks. Secara umum dapat dituliskan : Jika

Maka k x A dapat dituliskan sebagai berikut : K x A = k x

Contoh 9: Dikeahui : Tentukanlah nilai dari 3A ? Jawab :

SIFAT – SIFAT PADA PERKALIAN SKALAR DENGAN MATRIKS : kA = A.k ( sifat komutatif ) K(A + B ) = k.A + k.B ( Sifat distributif) K(A – B ) = k.A – k.B (sifat distributif ) K(lA) = (kl)A (k+l)A=kA + lA 1A = A (-1)A = -A Contoh : 1. 2A = A.2 2. 3(A + B ) = 3.A + 3.B 3. 5(A – B ) = 5.A – 5.B dll

3. Perkalian Dua Matriks Dua buah matriks ( A dan B ) dapat dikalikan ( A x B ) Jika banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Misalnya : A(n,m) dan B(m,k) maka A x B dapat dikalikan. Jika matriks A dan B dinyatakan dengan SBB :

Jadi A x B dapat dinyatakan sbb : C = A x B = x

maka : C=AXB= X c11 = a11 x b11 + a12 x b21 + …. + a1m x bm1 c12 = a11 x b12 + a12 x b22 + ….. + a1m x bm2 . c1k =a11 x b1k + a12 x b2k + ….+ a1m x bmk cij = ai1 x b1j + ai2 x b2j + …..+ aim x bmj

Dari soal diatas diketahui : a11 = 1 , a12 = 2 ; a21 = 3 ; a22 = 4 Contoh 10 : Diketahui : dan Tentukanlah A x B = ? Jawab : Dari soal diatas diketahui : a11 = 1 , a12 = 2 ; a21 = 3 ; a22 = 4 b11 = 5 ; b12 = 6 ; b13 = 9 ; b21 = 7 ; b22 = 8 ; b23 = 0

dimana : a11 = 1 , a12 = 2 ; a21 = 3 ; a22 = 4 Maka : b11 = 5 ; b12 = 6 ; b13 = 9 ; b21 = 7 ; b22 = 8 ; b23 = 0 c11 = a11 x b11 + a12 x b21 =1.5 + 2.7 = 5 + 14 = 19 c12 = a11 x b12 + a12 x b22 = 1.6 + 2.8 = 6 + 16 = 22 c13 = a11 x b13 + a12 x b23 = 1.9 + 2.0 = 9 + 0 = 0 c21 = a21 x b11 + a22 x b21 = 3.5 + 4.7 = 15 + 28 = 43 c22 = a21 x b12 + a22 x b22 = 3.6 + 4.8 = 18 + 32 = 50 c23 = a21 x b13 + a22 x b23 = 3.9 + 4.0 = 27 Maka :

SIFAT – SIFAT PERKALIAN PADA MATRIKS Perkalian pada matriks umumnya tidak komutatif. Perkalian pada matriks bersifat Asosiatif. Perkalian matriks bersifat Distributif. Distribusi kiri : Distribusi kanan : Dalam perkalian matriks yang hanya memuat matriks-matriks persegi dengan ordo yang sama, terdapat sebuah matriks Identitas yakni matriks satuan I, yang bersifat :

SIFAT TAMBAHAN PADA PERKALIAN MATRIKS (a) Jika , belum tentu A=0 atau B=0 (b) Jika , belum tentu B = C Jika p dan q adalah bilangan-bilangan real serta A dan B adalah matriks-matriks, maka berlaku : Jika At dan Bt berturut-turut adalah transpos dari matriks A dan matriks B, maka berlaku hubungan :

soal Diketahui matriks : Tentukanlah tiap hasil kali matriks ( jika mungkin) ? a. CA c. AC e. BC b. CB d. AB f. BA

4. PEMANGKATAN MATRIKS PERSEGI Defenisi : Jika A adalah matriks persegi maka :

Contoh 11 : Diketahui matriks : a. Tentukanlah : (i) A2 (ii) A3 (iii) A4 b. Tentukanlah : A3 - 4A2 + A - 4I ( dengan I adalah matriks satuan ) ? Jawab : a.

b) Dengan menggunakan hasil pada bagia a diatas diperoleh : A3 – 4A2 + A – 4I

5. TRANSPOS MATRIKS Pengertian Transpos Matriks Transpos dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Transpos dari matriks A dinotasikan dengan AT atau At atau . Jika matriks A dinyatakan dengan :

Maka tranpos dari matriks tersebut dinyatakan dengan : Contoh 12: Jika Tentukanlah transpos dari matriks diatas ( AT) ?

Jawab : maka AT = Jika A = AT maka A disebut matriks Simetri. Contoh 13 : Jika , Tentukanlah AT ? AT = Karena A = AT maka matriks A tersebut merupakan matriks simetris.

5. KESAMAAN MATRIKS Defenisi : Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, Jika dan hanya jika kedua matriks itu mempunyai ordo yang sama dan elemen-lemen yang bersesuaian bernilai sama. Diketahui : dan Jika A = B maka sama

Contoh 13 : Diantara matriks-matriks berikut ini manakah yang sama ? Jawab : Karena ada elemen yang bersesuaian tidak sama maka matriks A tidak sama dengan matriks B ( )

Jadi karena semua elemen yang bersesuaian bernilai sama maka matriks A sama dengan matriks B ( A = B ) Jadi karena ada elemen yang bersesuaian bernilai tidak sama maka matriks A tidak sama dengan matriks B ( )

6. DETERMINAN MATRIKS Pengertian Determinan : Determinan suatu matriks dinyatakan dengan Selisih Jumlah hasil kali antara diagonal utama dengan diagonal sekundernya. Jadi matriks yang memiliki nilai determinan hanyalah matriks yang berbentuk bujur sangkar.

Jika nilai determinan suatu matriks bernilai nol, maka matriks tersebut disebut matriks Singuler. Matriks singuler tidak memiliki invers / kebalikan. Determinan suatu matriks A dinyatakan dengan det (A) atau Untuk matriks yang berordo 2x2 : Jika maka determinan dari matriks Tersebut dinyatakan dengan : det (A) = (axd) – (bxc)

Contoh 14 : Diketahui , Tentukan determinan A? Jawab :

Untuk matriks yang berordo 3x3 : Jika maka determinannya dinyatakan dengan : (-) (-) (-) a b c a b A = d e f d e g h i g h (+) (+) (+) Dimana : Det (A) = + (axexi) + (bxfxg) + (cxdxh) - (cxexg) - (axfxh) - (bxdxi) Det (A) = ((axexi)+(bxfxg)+(cxdxh))-((cxexg)+(axfxh)+(bxdxi))

Diketahui ,Tentukan nilai determinannya ? Jawab: Contoh 15 : Diketahui ,Tentukan nilai determinannya ? Jawab: Det (A) = (2.2.3)+(1.1.5)+(4.4.1)-(4.2.5)-(2.1.1)-(1.4.3) = 12+5+16-40-2-12 = -21

Determinan dari Matriks-Matriks Khusus Matriks diagonal : Matriks berordo 2x2 Matriks berordo 3x3

Matriks segitiga atas : Matriks berordo 2x2 Matriks berordo 3x3

Matriks segitiga bawah : Matriks berordo 2x2 Matriks berordo 3x3

Matriks Singuler : Matriks berordo 2x2 Matriks berordo 3x3

Matriks Simetri : Defenisi : Matriks simetri adalah matriks bujursangkar dimana nilai elemen-elemen yaitu eij=eji Contoh : Dari matriks diatas dapat kita lihat bahwa : e11 = 2, e12 = e21= 3, e13 = e31 = 4, e22 = 1, e33 =4

7. INVERS MATRIKS 1. Pengertian invers matriks. Jika suatu matrik A dikalikan dengan matriks B yang berordo sama sehingga diperoleh hasil perkaliannya merupakan matriks identitas, maka matriks B tersebut disebut invers dari matriks A. Invers dari matriks A dapat dituliskan dengan bentuk A-1.

Untuk matriks berordo 2x2 Jika matriks A dinyatakan dengan : Maka invers dari matriks tersebut dinyatakan dengan : Jadi suatu matriks mempunyai invers jika matriks tersebut bukan matriks singuler.

Contoh 16 : Tentukanlah invers dari matriks : Jawab : Det (A) = 4.3 – 2.5= 12 – 10 = 2

2. Dua Matriks saling Invers. Defenisi : Jika A dan B masing-masing adalah matriks persegi dan mempunyai ordo yang sama, serta berlaku hubungan maka B adalah invers dari A dan A juga invers dari B, dengan demikian kedua vektor disebut saling Invers.

Contoh 17 : Diketahui matriks - matriks : dan Perlihatkanlah bahwa B adalah invers dari A dan A adalah invers dari B ? Jawab : Dari perhitungan diatas dapat dilihat bahwa oleh karena itu dapat dikatakan bahwa matriks A invers dari B dan B juga invers dari A

SIFAT-SIFAT INVERS PADA MATRIKS Jika A dan B adalah matriks persegi berordo dua yang tak singuler, A-1 dan B-1 berturut-turut adalah invers dari A dan B maka berlaku :

8. PERSAMAAN MATRIKS Defenisi : Jika A, B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo dua, A adalah matriks tak-singuler dengan invers A-1, maka penyelesaian persamaan matriks :

Contoh 18 : Diketahui matriks-matriks : dan Tentukanlah matriks X berordo (2x2) yang memenuhi persamaan a) b) Jawab : a) Untuk persamaan matriks penyelesaiannya adalah :

b) Untuk persamaan matriks , penyelesaiannya adalah :

Contoh 19 : Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dua peubah berikut : Jawab : Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier itu, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut : 1) ubah sistem linier kebentuk matriks, 2) selesaikan secara matriks.

Jadi Himpunan penyelesaian = Langkah 1) atau Langkah 2) det ( A ) = 4.3-5.2=12-10=2 Jadi Himpunan penyelesaian = ,