Metode Interpolasi Lagrange Metode Numerik Ir. Kutut Suryopratomo, MT, MSc Teknik Fisika, Universitas Gadjah Mada

Interpolasi & Regresi Keduanya sama-sama metode penaksiran suatu nilai berdasarkan sehimpunan data yang dimiliki. Keduanya berbeda dalam hal bagaimana fungsi penaksir disusun berdasarkan himpunan data yang dimiliki.

Fungsi Penaksir Interpolasi Fungsi penaksir disusun agar tepat memenuhi semua nilai himpunan data yang diberikan. Interpolasi baik dilakukan jika data yang dimiliki presisi atau sebarannya nihil.

Fungsi Penaksir Regresi Fungsi penaksir disusun agar paling pas/baik memodelkan kecenderungan perubahan yang diperlihatkan oleh himpunan data yang diberikan. Regresi dilakukan jika data yang dimiliki kurang presisi atau sebarannya signifikan.

Ide dasar Interpolasi Jika diberikan sehimpunan n+1 data: (xi, yi) dengan i=0..n Dari data disusun fungsi penaksir y=f(x) yang memenuhi ketentuan nilai f(xi) = yi di semua nilai himpunan data.

Ide dasar Interpolasi

Fungsi2 Penaksir Fungsi penaksir yang paling sering dipilih adalah polinom, karena mudah: Dievaluasi, Diturunkan, dan Diintegralkan. Polinom penaksir bisa berupa: 1 fungsi untuk seluruh himpunan data, atau 1 fungsi per pasang data.

Fungsi2 Penaksir Polinom penaksir bisa dibentuk dalam berbagai ungkapan: Langsung Tak Langsung Lagrange Selisih-terbagi Newton Spline – 1 polinom per pasang data

Fungsi Penaksir Metode Lagrange

Fungsi Penaksir Metode Langsung Dari (n+1) data: (xi, yi) dg i=0..n bisa disusun polinom orde n. Polinom penaksir dipilih berbentuk: Koefisien Lagrange Li(x) ditentukan dengan mensyaratkan: f(xi) = yi.

Koefisien Fungsi Penaksir Syarat interpolasi:

Koefisien Fungsi Penaksir Koefisien Lagrange, L0(x):

Koefisien Fungsi Penaksir Koefisien Lagrange, L1(x):

Koefisien Fungsi Penaksir Koefisien Lagrange, L2(x):

Koefisien Fungsi Penaksir Koefisien Lagrange, Ln(x):

Koefisien Fungsi Penaksir Koefisien Lagrange, Li(x):

Contoh: Data Diberikan data berikut: i xi yi 1 9,78 2 12,51 3 17,18 4 23,77 5 32,28

Contoh: Grafik Sebaran Data

Koefisien Fungsi Penaksir Fungsi Interpolasi Lagrange: Diketahui x0=1, x1=2, x2=3, x3=4 & x4=5. Koefisien Lagrange, L0(x):

Koefisien Fungsi Penaksir Fungsi Interpolasi Lagrange: Diketahui x0=1, x1=2, x2=3, x3=4 & x4=5. Koefisien Lagrange, L1(x):

Koefisien Fungsi Penaksir Fungsi Interpolasi Lagrange: Diketahui x0=1, x1=2, x2=3, x3=4 & x4=5. Koefisien Lagrange, L2(x):

Koefisien Fungsi Penaksir Fungsi Interpolasi Lagrange: Diketahui x0=1, x1=2, x2=3, x3=4 & x4=5. Koefisien Lagrange, L3(x):

Koefisien Fungsi Penaksir Fungsi Interpolasi Lagrange: Diketahui x0=1, x1=2, x2=3, x3=4 & x4=5. Koefisien Lagrange, L4(x):

Koefisien Fungsi Penaksir Diketahui x0=1, x1=2, x2=3, x3=4 & x4=5. Fungsi Interpolasi Lagrange:

Koefisien Fungsi Penaksir Diketahui x0=1, x1=2, x2=3, x3=4 & x4=5. Fungsi Interpolasi Lagrange:

Eksak vs. Prediksi Himpunan 5 pasangan data dalam contoh ini sebenarnya dihitung dari fungsi: Dengan demikian, nilai prediksi dengan fungsi interpolasi bisa dibandingkan dengan nilai eksaknya.

Contoh: Prediksi vs. Eksak

Error Prediksi y x exact predicted error abs % 0,1 8,99 0,0047 0,2   y x exact predicted error abs % 0,1 8,99 0,0047 0,2 9,00 0,0036 0,3 9,03 0,0028 0,4 9,08 0,0020 0,5 9,14 0,0015 0,6 9,23 0,0010 0,7 9,34 0,0006 0,8 9,47 0,0003 0,9 9,61 0,0001 1 9,78 0,0000

Hasil Interpolasi Metode Lagrange vs. Newton Perbandingan memperlihatkan bahwa prediksi dengan Metode Lagrange sama baik dengan Metode Newton. Hanya saja, ungkapan fungsi penaksir Metode Newton lebih sederhana daripada Metode Lagrange.