Matematika Diskrit Nelly Indriani Widiastuti Aljabar Boole Matematika Diskrit Nelly Indriani Widiastuti

Kompetensi dan capaian materi: Menyelesaikan masalah-masalah dengan pemahaman dan fungsi dalam aljabar Boolean Definisi Prinsip Dualitas Fungsi Boolean dan Komplemen Kanonik Penyederhanaan Kompetensi dan capaian materi:

DEFINISI

1. Closure: (i) a + b  B (ii) a  b  B 2 1. Closure: (i) a + b  B (ii) a  b  B 2. Identitas: (i) a + 0 = a (ii) a  1 = a 3. Komutatif: (i) a + b = b + a (ii) a  b = b . a 4. Distributif: (i) a  (b + c) = (a  b) + (a  c) (ii) a + (b  c) = (a + b)  (a + c) 5. Komplemen: (i) a + a’ = 1 (ii) a  a’ = 0 POSTULAT HUNTINGTON

PRINSIP DUALITAS

HUKUM-HUKUM ALJABAR BOOLE 1. Hukum Komutatif a. x v y = y v x b. x ^ y = y ^ x 2. Hukum Asosiatif a. (x v y) v z = x v (y v z)‏ b. (x ^ y) ^ z = x ^ (y ^ z)‏ 3. Hukum Distributif a. x v (y ^ z) = (x v y) ^ (x v z)‏ b. x ^ (y v z) = (x ^ y) v (x ^ z)‏ 4. Hukum Identitas a. x v 0 = x b. x ^ 1 = x 5. Hukum Negasi a. x v x' = 1 b. x ^ x' = 0 6. Hukum Idempoten a. x v x = x b. x ^ x = x 7. Hukum Ikatan a. x v 1 = 1 b. x ^ 0 = 0 8. Hukum Absorbsi a. (x ^ y) v x = x b. (x v y) ^ x = x 9. Hukum De Morgan a. (x v y)' = x' ^ y' b. (x ^ y)' = x' v y' HUKUM-HUKUM ALJABAR BOOLE

FUNGSI BOOLEAN Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai f : Bn  B yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

KOMPLEMEN FUNGSI

2. Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas. Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut.   Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka Tentukan dual nya f: x + (y’ + z’) (y + z) 2. komplemenkan tiap literalnya: x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’ Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’)

KANONIK

CONTOH SOAL:

Bentuk Baku Tidak harus mengandung literal yang lengkap. Contohnya,   f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz (bentuk baku SOP) f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’) (bentuk baku POS) Bentuk Baku

Penyederhanaan Secara Aljabar

Peta Karnaugh

Nyatakan f(a,b,c) = ((ab)’c)’((a’+c)(b’+c’))’ dalam bentuk kanonik SOP Cari komplemen dari fungsi f(w,x,y,z) = x’z + w’xy’ + wyz +w’xy dengan cara: deMorgan Dualitas Sederhanakan fungsi Boolean berikut secara aljabar xy + x’z + yz (x + y)(x’ + z)(y + z) Minimisasi fungsi-fungsi Boolean berikut dengan metode peta Karnaugh, dalam bentuk baku SOP dan bentuk baku POS f(x, y, z) = ∑ (2, 3, 6, 7) f(x, y, z) = xy + x’y’z’ + x’yz’ Diberikan table kebenaran: TUGAS x y z f(x,y,z) 1