DETERMINAN MATRIKS

Permutasi Permutasi himpunan bilangan-bilangan bulat (1,2,3,…,n) adalah susunan bilangan-bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan-bilangan tersebut. Untuk menyatakan permutasi umum dari himpunan (1,2,3,…,n), dituliskan sebagai (j1,j2,j3,…,jn), dimana j1 adalah bilangan bulat pertama dalam permutasi, j2 adalah bilangan bulat kedua, dan seterusnya.

Invers (inversion) Sebuah invers dikatakan terjadi dalam permutasi (j1,j2,j3,…,jn) jika sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan bulat yang lebih kecil.

Pemerolehan invers Jumlah invers seluruhnya yang terjadi dalam permutasi dapat diperoleh:1) carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari j1 dan yang membawa j1 dalam permutasi tersebut, 2) carilah banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari j2dan membawa j2 dalam permutasi tersebut. Teruskan proses perhitungan ini untuk j3,….,jn. Jumlah bilangan ini akan sama dengan jumlah invers seluruhnya dalam permutasi tersebut.

Permutasi genap/ganjil Sebuah permutasi dikatakan genap (even) jika jumlah invers seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang genap, dan dinamakan ganjil (odd) jika jumlah invers seluruhnya adalah sebuah bilangan yang ganjil

Hasil kali elementer Matriks A berukuran n x n mempunyai n! hasil kali elementer. Hasil kali elementer A adalah setiap hasil kali n entri A, sedangkan dua diantaranya tidak boleh berasal dari baris yang sama atau dari kolom yang sama. Hasil kali elementer tersebut adalah hasil kali berbentuk a1j1a2j2…anjn dimana (j1j2…jn) adalah permutasi himpunan (1,2,…,n). Hasil kali elementer bertanda A adalah hasil kali elementer a1j1a2j2…anjn dikalikan dengan +1 atau -1. Digunakan tanda + jika (j1j2…jn) adalah permutasi genap dan – jika (j1j2…jn) adalah permutasi ganjil

Determinan Determinan dari matriks A ditulis dengan A atau det(A) didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A.

Menghitung determinan dengan reduksi baris Teorema Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris nol, maka det(A) = 0

Teorema Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det(A’) = k det(A) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det(A’) = det(A) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris lain, maka det(A’) = det(A)

MINOR DAN KOFAKTOR Definisi Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang teta psetelah baris ke i dan kolom ke j dicoret dari A. Bilangan (-1)i+j.Mij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri aij

Menentukan determinan matriks dengan minor dan kofaktor Determinan matriks A yang berukuran nxn dapat dihitung dengan menggunakan rumus: det (A) = ∑(-1)i+jaijMij

Determinan matriks A yang berukuran nxn dapat juga dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan, yaitu untuk setiap 1<i<n dan 1<j<n maka: 1. det (A) = ai1Ci1+ai2Ci2+...+ainCin (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i) 2. det (A) = a1jCi1+a2jC2j+...+anjCnj (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j)

Teorema det(A) = a11a22…ann Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama det(A) = a11a22…ann

Definisi Jika A adalah sebarang matriks nxn dan Cij adalah kofaktor dari aij, maka matriks C11 C12 ... C1n C21 C22 ... C2n . . . Cn1 Cn2 ... Cnn Dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adj(A)

Teorema A-1 = adj (A) / det (A) Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka A-1 = adj (A) / det (A)