DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK MODUL 10 DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Tujuan Instruksional : Memahami diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel bebas Daftar Materi Pembahasan : 1. Diferensiasi parsial 2. Derivatif dari derivatif parsial 3. Nilai ekstrim: maksimum dan minimum 4. Optimalisasi bersifat: pengganda lagrange ‘13 Matematika Bisnis Proyono, SE. ME. Pusat Bahan Ajar dan Elearning Universitas Mercu Buana http://www.mercubuana.ac.id 1

Penulisan lain derivatif parsial dari suatu fungsi, Y = f (X1,X2,....Xn) adalah f1,f2, ..... fn Penulisan ini hampir sama dengan penulisan f’(X) pada fungsi dengan satu variabel bebas. Namun, bilamana fungsi tidak ditulis dalam bentuk seperti di atas, melainkan fungsi ditulis dalam bentuk seperti, Y = f (U,V,W), maka derivatif parsialnya adalah fu, fv, fw atau ∂Y/∂U, atau ∂Y/∂V, dan ∂Y/∂W. Jadi, penulisan derivatif parsial secara umum dari fungsi, Y = f (X1,X2,....Xn) adalah, fi atau ∂Y ∂Xi di mana: i = 1,2,.....,n Proses untuk mencari derivatif parsial disebut diferensial parsial. Teknik diferensiasi parsial ini berbeda dengan aturan diferensiasi fungsi dengan satu variabel bebas. Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunan yaitu : jika y = f (x) maka y’ = dy/dx. Sedangkan jika sebuah fungsi mengandung lebih dari satu variabel bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam pula, atau jika suatu fungsi memiliki n variabel bebas maka akan memiliki sebanyak n turunan. Jika y = f (x,z) maka akan ada 2 y’ yaitu y’ = dy/dx dan y’ = dy/dz. Untuk membedakan turunan terhadap x dan z maka biasanya akan diberi notasi Fx untuk turunan terhadap x dan Fz untuk turunan terhadap z. Contoh : Y = 3x² - 8xz – 5 z² maka Fx = dy/dx = 6x – 8z dan Fz = dy/dz = -8x –10 z http://www.mercubuana.ac.id 3

Nilai ekstrim: maksimum dan minimum 3. A = 6 K⅔ L⅓ - 2 K¼ L⅔ AK = AL = 4. F =2 X¯² Y² + 3 XY + 6 XY² - 4 X¯² Y – 2 Y + 3 X FX = FY = 3. Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Nilai ekstrim dari (optimum) dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif keduanya : Untuk y = f (x,z) maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika : Fx = dy/dx = 0 dan Fz = dy/dz=0 Syarat di atas adalah syarat yang diperlukan agar fungsinya mencapai titik ekstrim. Untuk mengetahui apakah titik ekstrim tersebut titik maksimum atau minimum, digunakan syarat yang harus dipenuhi yaitu: Maksimum bila Fxx = d²y/dx² < 0 dan Fzz=d²y/dz² < 0 Minimum bila Fxx = d²y/dx² > 0 dan Fzz = d²y/dz² >0 Contoh 1: Selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini adalah titik maksimum atau titik minimum ? : y = -x² + 12x -z² + 10z – 45 Jawab : Fx = -2x + 12 = 0 -2x + 12 = 0 -2x = 12 maka x = 6 Fz = -2z + 10 = 0 -2z + 10 = 0 2z = 10 maka z = 5 y = -6² + 12 . 6 -5² + 10 . 5 – 45 = 16 Fxx = -2 < 0 dan Fzz < 0 maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum dengan y maks = 16 http://www.mercubuana.ac.id 5