Oleh: Rina Agustina Pendidikan Matematika ANALISIS REAL I Oleh: Rina Agustina Pendidikan Matematika

DEFINISI Barisan bilangan real adalah fungsi pada himpunan bilangan asli N dengan daerah hasil pada himpunan bilangan R X : N  R n  xn Selanjutnya barisan dinotasikan dengan: X atau (xn) atau (xn : n  N)

DEFINISI 3.1.3 Jika X = (xn) dan Y = (yn) barisan bilangan real, kita definisikan sebagai berikut: X + Y = (xn + yn) X – Y = (xn - yn) X.Y = (xnyn) cX = (cxn) X/Y = (xn/yn), jika yn  0 untuk semua nN.

DEFINISI 3.1.4 Misalkan X = (xn) barisan bilangan real. Bilangan real x dikatakan limit dari X jika untuk setiap  > 0 terdapat bilangan asli K = K() sehingga untuk setiap n  K berlaku │xn – x │<  Dalam hal ini X dikatakan konvergen ke x.

Jika barisan tersebut mempunyai limit, maka dikatakan bahwa barisan konvergen, dan jika tidak mempunyai limit dikatakan divergen. Jika barisan bilangan real X = (xn) mempunyai limit x  R, ditulis Lim (xn) = X

Teorema Ketunggalan Limit Jika barisan bilangan real X = (xn) konvergen, maka limit nya tunggal.

BUKTI:  

Latihan 1. Misalkan lim (an) = a > 0. Tunjukkan bahwa terdapat K  N sehingga untuk setiap n ≥ K, an > 0 2. Misalkan lim (an) = a, dengan an ≥ 0, untuk setiap n  N. Buktikan bahwa a ≥ 0.

KERJAKAN Latihan 3.1 No 8 No 9 (a) dan (b) No 10

DEFINISI 3.2.1 Barisan bilangan real X = (xn) dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real M > 0 sehingga │ xn │ ≤ M untuk semua n  N.

Jika (xn) barisan bilangan real konvergen, makan (xn) terbatas. Teorema 3.2.3 Jika (xn) barisan bilangan real konvergen, makan (xn) terbatas.

Teorema 3.2.4 Jika X = xn dan Y = yn masing – masing barisan bilangan real yang konvergen ke x dan y maka barisan X + Y, X – Y, XY dan cX , dengan c  , berturut-turut konvergen ke x + y, x – y, xy dan cx.

Selanjutnya, jika Z = zn barisan bilangan real tak nol yang konvergen ke z ≠ 0, maka barisan X/Z konvergen ke x/z.

Teorema 3.2.5 Jika X = xn barisan bilangan real yang konvergen ke x dan xn ≥ 0 untuk semua n N, maka x ≥ 0

Teorema 3.2.6 Jika X = xn ,Y = yn dan Z = zn barisan bilangan real sehingga xn ≤ yn ≤ zn untuk semua n N dan lim (xn) = lim (zn), maka Y = yn konvergen dan lim (xn) = lim (yn) = lim (zn)

Teorema 3.2.8 Jika barisan X = xn konvergen ke x, maka (| xn |) konvergen ke |x|.

Tugas Latihan 3.2 No 9 (a) dan (d)

Definisi 3.3.1 Misalkan X = xn barisan bilangan real. Barisan X dikatakan naik (increasing) jika memenuhi ketidaksamaan x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ … ≤ xn ≤ xn+1 ≤ … Barisan X dikatakan turun (decreasing) jika memenuhi ketidaksamaan: x1 ≥ x2 ≥ x3≥ … ≥ xn ≥ xn+1 ≥ …

Teorema 3.3.2 Barisan bilangan real monoton konvergen jika dan hanya jika ia terbatas. selanjutnya, (a) Jika X = xn naik terbatas, maka lim (xn) = sup xn (b) Jika Y = yn turun terbatas, maka lim (yn) = inf yn

Contoh:

SEKIAN TERIMA KASIH