Analisis real Nilai Mutlak Supremum dan Infimum Tugas kelompok 3 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 PERTIDAKSAMAAN Tugas kelompok 3 Analisis real Nilai Mutlak Supremum dan Infimum 1. RASMA MANDJUR 214120043 2. WIDYA NINGSIH 1215 120 092 3. FRIDOLIN 214120033 Matematika V B Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

No. 1 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 PERTIDAKSAMAAN Nilai mutlak Tuliskan defenisi nilai mutlak suatu bilangan real dan jelaskan dengan contoh   Penyelesaian  

No. 2 NILAI MUTLAK Tunjukkan bahwa :    

    Lanjutan No. 2

Nilai Mutlak No. 3 Buktikan pernyataan berikut : BUKTI : BUKTI :   BUKTI :     BUKTI :     BUKTI :  

Nilai mutlak No. 4 Contoh: Tuliskan defenisi: persekitaran –ε dari a dan jelaskan dengan contoh!   Contoh: Penyelesaian  

Jika a ∈ R, tunjukkan bahwa: No. 5 Nilai Mutlak Jika a ∈ R, tunjukkan bahwa:        

No. 6 Nilai Mutlak                

Nilai mutlak No. 7 Pernyataan di atas salah. Bukti penyangkalan:   Pernyataan di atas salah. Bukti penyangkalan:     Penyelesaian    

No. 8 Nilai Mutlak     Perhatikan bahwa :          

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut : No. 9 Nilai Mutlak Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut :        

Nilai mutlak No. 10 Perhatikan bahwa:     Perhatikan bahwa: a < x < b jelas bahwa x < b, sehingga : x < b x – a < b – a . . . (kedua ruas dikurangi a) . . .(1) a < y < b jelas bahwa y < b, sehingga : y < b y – a < b – a . . . (kedua ruas dikurangi a) . . .(2) dari persamaan (1) dan (2) diperoleh bahwa : Bukti  

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 11 Tuliskan defenisi supremum dan infimum dan jelaskan dengan contoh ! Jawab Defenisi I : Misalkan S himpunan bagian R. Suatu bilangan a di R disebut batas atas S jika s ≤ u untuk setiap s ∈ S. Suatu bilangan w di R disebut batas bawah s jika s ≥ u untuk setiap s ∈ S. Defenisi II : Misalkan S himpunan bagian R Jika S terbatas di atas, maka disebut supremum (batas atas terkecil) dari S, jika ia lebih kecil dari setiap batas yang lain dari S. Jika S terbatas di bawah, maka disebut infimum (batas bawah terkecil) dari S, jika ia lebih besar dari setiap batas yang lain dari S.  

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 12   Andaikan kesimpulan dari teorema di atas tidak benar, yaitu untuk setiap n  N terdapat x  sehingga x > n Oleh karena itu x adalah batas atas dari N, sehingga dengan menggunakan sifat supremum, maka himpunan tak kosong N mempunyai supremum u di dalam . Karena u – 1 < u dengan Lemma 2.4.4 maka terdapat m N sehingga u – 1 < m. Tetapi akibatnya u < m + 1. Karena m + 1  N, maka terjadi kontradiksi dengan asumsi bahwa u adalah batas atas dari N. Bukti

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 13 Misalkan z dan y bilangan real positif, maka : Terdapat bilangan n di N sehingga berlaku z < ny         Terdapat bilangan n di N sehingga berlaku n – 1 ≤ z < n.  

No. 14 SUPREMUM DAN INFIMUM     Penyelesaian

      Lanjutan No. 14

      Lanjutan No. 14

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 15 Jika x, y di R dengan x < y maka terdapat bilangan rasional r sehingga berlaku x < r < y. buktikan !   Bukti  

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 16 No. 17 Tentukan infimum dan supremum dari: Jika x dan y di R danberlaku x < y maka terdapat bilangan irrasional r sehingga berlaku x < r< y. Buktikan! Tentukan infimum dan supremum dari: {1+(1/n)} Bukti   Bukti  

Lanjutan No. 17 {1+(-1/n)} {1-(-1/n)} Bukti Bukti    

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 18 Diberikan himpunan tak kosong S dan terbatas di R. Tunjukkan bahwa, (1) Sup (a A) = a . Sup A jika (a > 0) dan (2) Inf (aA) = a . inf A jika (a > 0). Jawab    

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 19 Diberikan himpunan tak kosong A dan terbatas di R. Tunjukkan bahwa, (1) Sup (aA) a . inf A jika (a<0) dan (2) inf (aA) = a. Sup A jika (a<0). Jawab    

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 20 DiberikanhimpunantakkosongS danterbatas di R. Tunjukkanbahwa, inf S ≤ Sup S Inf S ≤ Sup S Misalkan a = inf S, maka a batas bawah dari S dan a ≥ w (Ʉ w batas bahwa S). Misalkan b = sup S, maka b batas atas dari S dan b ≤ v (Ʉ v batas atas S). Karena w ≤ v maka a ≤ b atau inf S ≤ sup S Bukti

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 21 Diberikan himpunan S={1-(-1)n/n, nєN}, tentukanInf S dan Sup S Jadi, Sup S = 2 dan Inf S = 0 Bukti

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 22 No. 23 Diberikan himpunan tak kosong S dan terbatas di R. Jika S = Sup S apa kesimpulan anda. Jika S = Sup S, maka himpunan S tidak memiliki batas bawah dan tunggal di Sup S No. 23 Diberikan himpunan tak kosong A dan B terbatas di R. Didefinisikan S = {a+b, aєA, bєB}. Tunjukkan bahwa, (1) Sup(A) + Sup(B) = Sup S dan (2) Inf (S) = Inf(A) + Inf(B). bukti

Lanjutan No. 23 Pertama kita menunjukkan bahwa sup(A +B) ≤ Sup A + sup B. Jika a ϵ A dan b ϵ B kemudian a +b ≤ Sup A + sup B. Oleh karena itu Sup A + sup B adalah batas atas untuk A + B. Dengan definisi dari Sup (A +B), hasilnya yaitu Sup(A + B) ≤ Sup A + sup B. Untuksembaranga ϵ A danb ϵ B, berlaku a ≥ inf A dan b ≥ inf B. sehinggaa + b ≥ inf A + inf B. Jadi, A + B terbatas di bawah oleh inf A + inf B. Ambil ε>0 sembarang. Piliha ϵ A danb ϵ B sedemikian sehinggaa < inf A + ε /2 danb < inf B + ε /2 .Maka, a + b < inf A + inf B + ε.   Jadi, Inf (A + B) = Inf A + Inf B.

JANGAN MIMPIKAN HIDUPMU, TAPI JALANILAH MIMPIMU END