Metode Variational sd Galerkin Aplikasinya dalam Problem Aliran Air Tanah oleh Ir. Adam Pamudji R., M.Sc., Ph.D.

Mencari Solusi = Mendekati Dalam MEH fungsi yang dicari didekati dengan fungsi lain yaitu fungsi pendekat Fungsi pendekat merupakan fungsi diskret merupakan atau dapat digunakan sebagai fungsi interpolasi dengan koefisien-koefisiennya sama dengan nilai fungsi pendekat di node-node (fungsi Lagrange atau yang lain) 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Metode Variational Mencari fungsi yang paling sesuai atau optimal mendekati fungsi lain Problem:”Dicari fungsi yang paling optimal untuk mendekati fungsi yang memenuhi persamaan berikut” 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Fungsi Pendekat fungsi yg dicari fungsi pendekat 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Fungsi Interpolasi fungsi yg dicari fungsi pendekat 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Operator Diferensial dan Fungsi Pendekat Fungsi pendekat, h^, ini dioperasikan seperti fungsi yang dicari / fungsi asal, h, (mis.: operator Laplace  L) fungsi asal, h, “dioperasikan” fungsi pendekat, h^, “dioperasikan” 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Residual Pada fungsi asal hasil operasi disyaratkan nol di mana-mana di ruang x,y, sedangkan pada fungsi pendekat hasil operasi tidak nol sehingga disebut Residual. persamaan pada fungsi asal persamaan pada fungsi pendekat 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Weighted Residual Untuk mencari pendekat yang terbaik bentuk fungsi dipilih dicari koefisien dengan “optimasi” yaitu minimisasi Residual di seluruh domain komputasi Metode WR melakukan minimisasi berdasar 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Weighted Residual Dapat dikatakan dicari fungsi Wj (pembobot) yang orthogonal terhadap fungsi Residual, R. dua vektor orthogonal / tegak lurus satu sama lain jika hasil perkaliannya (dot product) sama dengan nol. Jika syarat ortogonalitas dipenuhi maka fungsi pendekat (penyusun R) adalah pendekat paling optimal. 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Interpolasi fungsi dan turunannya 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Least Square of Residual (Error) Dicari fungsi pendekat (dan koefisien-koefisiennya) sehingga LSR (=I) minimum. Untuk sejumlah fungsi pendekat fi, maka minimisasinya sbb. +kondisi batas 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan LSR WR 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Weighted Residual Dapat diperhatikan bahwa terdapat beberapa persamaan, karena j = 1,N Fungsi pembobot ini juga fungsi diskret Koefisien fungsi pendekat dapat dicari jika jumlah persamaan mencukupi, yaitu N = jumlah koefisien Fungsi pembobot juga dipilih 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode (Bubnov-)Galerkin Metode ini memilih Wj sama dengan fungsi basis interpolasi yaitu Nj Selanjutnya penjelasan akan menggunakan kasus penyelesaian persamaan Laplace untuk fungsi h 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode (Bubnov-) Galerkin Fungsi pendekat h adalah h, ,maka diperoleh persamaan : Metode Galerkin mensyaratkan: 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode (Bubnov-) Galerkin Jika persamaan tersebut dirincikan dengan fungsi pendekat persamaan diskret (yaitu persamaan interpolasi diperoleh : 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Teorema Green W G 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Teorema Green 1D 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Integration by Part 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Diskretisasi dalam bentuk tensor 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Diskretisasi Prosedur analisis 1D 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Integral Element 1D Integral 1 Integral 2 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Stop: ke Integral Element Di Kuliah02 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Aliran di bawah Turap aliran air tanah di bawah dinding beton yang cukup tebal 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Persamaan model Fenomena aliran 2DV ini dimodelkan dengan persamaan 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Diskretisasi Persamaan Interpolasi 2D Aplikasi Galerkin & Green 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Diskretisasi Persamaan Persamaan Matrks hasil dengan 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Elemen Segi Tiga Linier 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Elemen Segi Tiga Linier Ni (x,y) = ai + bix + ciy, ai = (xjyk – xkyj)/2A bi = (yj – yk)/2A, ci = (xk - xj)/2A, A = luas elemen segi tiga 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Integral Element Segi Tiga Integral fungsi 2D di bawah ini rumit, terutama dalam menentukan batas-batas integralnya Ni (x,y) = ai + bix + ciy, Oleh karena itu dikenal teknik integral dengan menggunakan “natural coordinate system” Untuk sementara dipilih elemen yang mudah integralnya yaitu segi tiga siku-siku sama kaki 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Elemen Segi Tiga Siku-siku Sama Kaki Ni (x,y) = ai + bix + ciy, ai = (xjyk – xkyj)/2A bi = (yj – yk)/2A, ci = (xk - xj)/2A, A = l2/2 a1= (x2y3 – x3y2)/2A = (l x l – 0 x 0)/2A = 1 b1 = (y2 – y3)/2A = ( 0 – l )/2A = -1/l l x y 1 2 3 c1= (x3 – x2)/2A, = ( 0 – l )/2A = -1/l N1 (x,y) = 1- x/l - y/l = (l – x – y)/l 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Integral Segi Tiga Siku-siku Sama Kaki x y 1 2 3 N1 (x,y) = (l – x – y)/l N2 (x,y) = x/l N3 (x,y) = y/l 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Integral Segi Tiga Siku-siku Sama Kaki x y 1 2 3 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Integral Segi Tiga Siku-siku Sama Kaki x y 1 2 3 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Integral Segi Tiga Siku-siku Sama Kaki 2 y Integral fungsi basis atau perkaliannya pada segi-tiga dengan ukuran yang sama, hasilnya sama pula Contoh: 1 l x l 3 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Elemen 1, 3, dan 5 l x y 1 2 3 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan x y 1 2 3 Elemen 1, 3, dan 5 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Matriks Elemen Elemen 1, 3, 5 l x y 1 2 3 Elemen 2, 4, 6 l x y 1 2 3 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Connectivity Table Element no. Local node no. 1 2 3 6 4 7 5 1 3 5 2 4 6 Global node no. 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Perakitan Matriks 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Perakitan Matriks 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan

Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan Perakitan Matriks 5/26/2018 Metode Elemen Hingga dalam Bidang Keairan