Pertemuan 8 MATRIK

Matrik Definisi : Matrik adalah kumpulan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom memiliki 2 baris & 3 contoh: A = kolom, disebut matrik 2 x 3 Matrik yang memiliki satu baris disebut vektor baris Matrik yang memiliki satu kolom disebut vektor kolom 2 1 0 3 4 5

Entry/elemen dari Matrik A a11=2, a12 =1, a13=0, a21=3, a22=4, a23=5 2 1 0 Contoh : Vektror Baris  ; Vektor Kolom  2 3 4 Bilangan2 yg ada dalam matrik disebut entri atau elemen (berdasarkan baris dan kolom) Notasi Matrik = Huruf Besar dan entri / elemen = huruf kecil. Atau A = [ ajk ] 2 1 0 3 4 5 A = Entry/elemen (2,1) dari Matrik A adalah 3 2 1 0 3 4 5 A = Entry/elemen dari Matrik A a11=2, a12 =1, a13=0, a21=3, a22=4, a23=5

A. PERSAMAAN MATRIKS 2 x1 + 3 x2 – x3 = 5 4 x1 + 4 x2 – 3 x3 = 3 Sistem persamaan : Dapat dijabarkan 2 x1 + 3 x2 – x3 = 5 4 x1 + 4 x2 – 3 x3 = 3 2 x1 + 3 x2 + x3 = -1 2 3 -1 A = 4 4 -3 2 3 1 = Koefisien matriks

= vektor dari sisi kanan x1 x = x2 x3 = vektor dari variabel yg tdk diketahui 5 b = 3 -1 = vektor dari sisi kanan Kemudian sistem ini dapat dituliskan sebagai Ax = b

a11x1 + a12x2 + ....+ a1n Xn = b1 a22x1 + a22x2 + ....+ a2n Xn = b2 Secara umum, jika terdapat suatu sistem yang terdiri dari sejumlah m persamaan dgn n vaariabel yang tidak diketahui dituliskan sebagai berikut a11x1 + a12x2 + ....+ a1n Xn = b1 a22x1 + a22x2 + ....+ a2n Xn = b2 : : : am1x1 + am2x2 + ....+ amn Xn = bm

x1 x2 : x3 x = b1 b2 : bm b = A = a11 a12 .... a1n a21 a22 .... a2n Dapat ditulis dalam bentuk matriks Ax = b x1 x2 : x3 x = b1 b2 : bm b = A = a11 a12 .... a1n a21 a22 .... a2n : : am1 am2 ....amn Disini A adalah matrik m x n, x adalah n x 1, b adalah matrik m x 1. Perhatikan bahwa aij = elemen A pd interseksi antara baris ke-i dan kolom ke-j. Dimensi atau ukuran matrik A ( m x n ) disebut juga sebagai orde A

Matrik yang sama contoh: A = a11 a12 a22 a22 = B = 4 0 3 -1 Dua matrik A = [ ajk ] dan B = [ bjk] dikatakan sama jika dan hanya jika A dan B memiliki jumlah baris dan kolom yang sama dan elemen2 yang ada didalamnya adlah sama yaitu : ajk = bjk , untuk semua j dan k sehingga dapat ditulis bahwa: A = B contoh: A = a11 a12 a22 a22 = B = 4 0 3 -1 a11 = 4, a12 = 0 a22 = 3, a22 = -1 Jika dan hanya jika :

Penjumlahan Matriks Jika : A = -4 6 3 0 1 2 = B = 5 -1 0 3 1 0 Maka : Hanya dapat dilakukan pada matriks2 yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Jumlah dua matriks m x n, A = [ajk] dan B = [bjk] dituliskan : A + B Maka : ajk + bjk j = 1,...,m; k = 1,...,n Jika : A = -4 6 3 0 1 2 = B = 5 -1 0 3 1 0 Maka : 1 5 3 3 2 2 A + B =

Sifat - sifat Penjumlahan Matriks A + B = B + A (U+V) + W = U + (V+W) atau (U+V+W) A + 0 = A A + (-A) = 0 Keterangan: -A = [- ajk ] adl matrik m x n yang diperoleh dengan mengalikan tiap elemen di A dgn -1 dan disebut sbg negatif dari A Untuk A + (-B), lebih sering dituliskan sbg A-B, dan disebut matrik pembeda antara A & B

Perkalian matrik dgn skalar (bilangan) Hasil perkalian antara matrik m x n A = [ajk] dgn sebuah skalar [dituliskan cA (atau Ac)] diperoleh dgn mengalikan elemen2 di A dgn c: cA = Ac = ca11 ca12 .... ca1n ca22 ca22 .... ca2n : : cam1 cam2 ....camn

Contoh : 2,7 -1,8 Jika : A = Maka : 0,9 3,6 5,4 -3,6 A + A = 2A = A = 2,7 -1,8 0,9 3,6 Jika : Maka : A + A = 2A = A = 5,4 -3,6 1,8 7,2 Sifat-sifat perkalian matrik dgn skalar : c(A + B) = cB + cA (c + k)A = cA + kA c ( kA ) = ( ck ) A atau ( ckA ) 1A = A Keterangan : (-1)A = -A, disebut negatif dari A

Perkalian antar matriks Langkah pertama adalah menuliskan persamaan dalam bentuk Ax = , yaitu : b1 b2 : bm = a11 a12 .... a1n a22 a22 .... a2n : : am1 am2 ....amn x1 x2 : x3 Selanjutnya mengalikan Ax

Matriks hasil berorde m x l Ax = a11 x1 + .... a1nxn a21 x1 + .... a2n xn : : am1 x1 + .... amn xn Syarat untuk melakukan perkalian matriks : Jumlah kolom A = jumlah baris x Jadi : A x = b (m x n) (n x l ) m x l) equal Matriks hasil berorde m x l

Sifat –sifat perkalian matrik Assosiatif dan Distributif (kA)B = k(AB) = atau (kAB) atau (AkB) A(BC) = (AB)C atau (ABC) (A+B)C = AC + BC C(A+B) = CA + CB Tidak Komutatif : AB tdk sama dgn BA Jika AB = 0, maka tdk berarti bahwa A = 0 atau B = 0 atau BA = 0

Matrik – Matriks Khusus Matrik Square adalah matrik yang mempunyai jumlah kolom dan baris yg sama. Jika B adalah matrik square, maka entry/elemen ajj adalah diagonal utama dari B. Contoh: B = => Diagonal utama: b11= 4, b22= 1, b33= 7 4 6 3 0 1 2 9 8 7

Matrik Tringular adalah matrik square yang seluruh elemen yang berada diatas atau dibawah diagonal utama adalah nol. Uppper 4 6 3 3 0 1 2 4 0 0 7 3 0 0 0 4 Lower 4 0 0 0 7 1 0 0 5 6 5 0 4 1 3 4

Matrik Diagonal adalah matrik square yang seluruh elemen yang berada diatas dan dibawah diagonal utama adalah nol. 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 7 0 0 0 0 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 2

c 0 .. 0 0 c .. : : : . : S = 0 0 .. c Sifat : AS = SA = cA Matrik Scalar adalah matrik diagonal yang seluruh elemen berada di diagonal utama adalah sama S = c 0 .. 0 0 c .. : : : . : 0 0 .. c Sifat : AS = SA = cA

Matrik Satuan atau Matrik Identitas adalah matrik diagonal yang seluruh elemen yang berada di diagonal utama adalah 1. I = 1 0 .. 0 0 1 .. : : : . : 0 0 .. 1 Sifat : AI = IA = A

Sifat : A + 0 = 0 + A = A  notasi 0 m x n A – A = 0; A0 = 0; 0A = 0 Matrik Nol adalah matrik yang semua elemen/entry-nya adalah nol. Notasi “0” digunakan untuk mendeskripsikan matrik nol. 0 = 0 0 0 0 ; 0 = ( 0 0 0 0 ) Sifat : A + 0 = 0 + A = A  notasi 0 m x n A – A = 0; A0 = 0; 0A = 0

Daftar Pustaka Advanced Engineering Mathematic, chapter 8 Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Noor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar Linear