Persamaan Kuadrat (1) HADI SUNARTO, SPd mashadisunarto@yahoo.com http://hadisoen.wordpress.com

PENGERTIAN Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0 dengan a,b,c ∈ R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a ≠ 0 . Contoh : x2 + 2x + 1 = 0 2x2 − 4x + 3 = 0 x2 − 9x = 0 , 2x2 − 4 = 0, x2 + 7x = 10 dan lain sebagainya.

Penyelesaian Persamaan Kuadrat Nilai pengganti x yang memenuhi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 disebut penyelesaian persamaan kuadrat. Beberapa cara untuk menyelesaikan (mencari akar-akar) persamaan kuadrat : Memfaktorkan Melengkapkan kuadrat sempurna Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)

Memfaktorkan Sebelum akan dibahas mengenai aturan faktor nol. Aturan faktor nol menyatakan bahwa hasil kali sebarang bilangan dengan bilangan nol adalah nol. Misalkan 2 × 0 = 0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0. Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka salah satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol. Secara simbolik dinyatakan bahwa jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 . Kata atau pada ” a = 0 atau b = 0 ” berarti bahwa salah satu dari a atau b sama dengan nol atau bisa jadi kedua-duanya sama dengan nol.

Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini. a. 4x2 − 32x = 0 b. 7x2 = −84x c. d. x2 + 5x + 6 = 0

PENYELESAIAN 4x2 − 32x = 0 x2 + 5x + 6 = 0 7x2 = −84x Perhatikan antara suku pertama dan kedua ada faktor yg sama 4x shg 4x(x -8) = 0 4x = 0 atau x-8 = 0 x =0 atau x= 8 Jadi HP { 0,8} x2 + 5x + 6 = 0 Dari persamaan tsb didapat a=1 ; b=5 ; c= 6 Cari dua bilangan misal p dan q sehingga p x q = 1x(6) = 6 p+ q = 5 Bilangan yg memenuhi syarat tsb adl 2 dan 3 shg (x + 2)(x + 3) = 0 x + 2 = 0 atau x +3 = 0 x = -2 atau x = -3 Jadi HP { -3 , -2 } 7x2 = −84x Kumpulkan pada satu ruas kiri 7x2 + 84x=0 Perhatikan antara suku pertama dan kedua ada faktor yg sama 7x shg 7x( x + 12) = 0 7x = 0 atau x +12 = 0 x = 0 atau x = -12 Jadi HP = { -12,0}

Dari persamaan tsb didapat a=2 ; b=5 ; c= -3 Cari dua bilangan misal p dan q sehingga p x q = 2x(-3) = -6 p+ q = 5 Bilangan yg memenuhi syarat tsb adl - 1 dan 6 shg 2x2 + 5x – 3 = 0 (2x – 1)(2x +6) = 0 Ruas kika bagi dgn 2 maka (2x- 1)(x + 3) = 0 2x – 1 = 0 atau x +3 = 0 2x = 1 atau x = -3 x = ½ atau x = -3 Jadi HP { -3 , ½ } Untuk mempersingkat waktu gunakan pemfaktoran langsung (√5x - √3)(√5x +√3) = 0 √5x - √3 = 0 atau √5x +√3 = 0 √5x = √3 atau √5x = -√3 Jadi HP { - , }

MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, diubah menjadi bentuk kuadrat dengan cara sebagai berikut. Pastikan koefisien dari x adalah 1, bila tidak bagilah dengan bilangan sedemikian sehingga koefisiennya adalah 1. Tambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x kemudian kuadratkan. Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat, (x + p)2 = q, dengan q  0 sedangkan ruas kanan dimanipulasi, sehingga menjadi bentuk yang lebih sederhana (x + p) = p  , atau x = -p 

x2 – 4x – 5 = 0 x2 – 4x – 5 = 0 x2 – 4x = 5 x2 – 4x + (1/2. (-4))2 = 5 + (1/2. (-4))2 x2 – 4x + (-2)2 = 5 + (-2)2 (x-2)2 = 5 + 4 (x-2)2 = 9 x-2 = ±√9 x =2 ±3 x = 2+3 atau x = 2-3 x = 5 atau x = -1 HP ={ -1,5}

2x2 – x – 1 = 0 2x2 – x – 1 = 0 ( kika dibagi 2) x2 – ½ x - ½ = 0 x = ¼ + ¾ atau x = ¼ - ¾ x = 1 atau x = - ½ HP ={ - ½ , 1}

x2 + 2x = 0 x2 + 2x = 0 x2 + 2x + ( ½ .2)2 = 0 + ( ½ .2)2 x = 1 -1 atau x = -1 - 1 x = 0 atau x = - 2 HP ={ -2, 0}

Rumus abc Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc. Rumus persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut : (cobalah melengkapi) ax2 + bx + c = 0  ax2 + bx = - c 

Rumus abc Jika ax2 + bx + c = 0, dengan a, b,c ∈ R, a 0 Maka