Persamaan Medan Einstein
Asumsi dasar Dengan Prinsip Ekivalensi, di suatu titik lokal, terdapat suatu sistem koordinat: 1. Untuk x dekat A, tensor metrik dapat berbeda dengan hanya oleh suku kudratik dalam (x-A).
2. Medan gravitasi lemah dekat A 2. Medan gravitasi lemah dekat A. Medan dapat diuraikan oleh persamaan diferensial parsial linier. Setelah didapat lakukan transformasi koordinat umum (tensor).
Dalam aproksimasi medan lemah, kerapatan energi untuk materi non-relativistik: Memberikan persamaan Poisson: Untuk medan stasioner lemah, yang ditimbulkan oleh materi nonrelativistik
Memberikan dalam sistem lokal: Dengan: Dan secara umum:
Syarat dan kriteria
Tensor Riemann-Christoffel memiliki sifat keunikan dan simetri yang memenuhi syarat [1] dan [2]. Dengan sifat kontraksi dan simetri, hanya ada dua tensor yang dibentuk: Tensor Ricci dan skalar kurvatur
Kita bentuk dari kombinasi linier:
Dari Identitas Bianchi:
Dan turunan kovarian: Memberikan syarat:
Namun dari kontraksi: tidak mungkin nol, sehingga:
Maka: Dengan syarat [5]: Sehingga:
Bagian spasial: Dan:
Didapat: Dan substitusi:
Gunakan tensor Riemann: Semua turunan terhadap waktu = 0: Maka:
Persamaan Medan Einstein Maka: Secara umum:
Struktur Mengandung kelengkungan dalam tensor Ricci Highly non-linier dalam tensor metrik dan turunan pertamanya
Bentuk alternatif Dalam tensor Ricci:
Persamaan medan dalam vakum: Persamaan medan dengan konstanta kosmologi: