Nur Cahya Setyaningsih Tegar Bayu Andhi P. A410070111 Nur Cahya Setyaningsih A410070112 Agita Pramitasari A410070116 Dian Adi Pamungkas A410070123

Transformasi Geometri Translasi Dilatasi Transformasi Geometri Rotasi Pencerminan

1.Translasi Translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah tertentu dapat diwakili oleh ruas garis berarah (misal AB) atau oleh suatu bilangan terurut

Jika translasi T = memetakan titik P ke titik P’ maka berlaku hubungan () ) P’ Atau P’{ ; }. Hubungan ini dapat ditulis dalam bentuk: : P P’ P

Contoh soal: Penyelesaian Tentukan bayangan bengun PQRS dengan koordinat titik P(4,2), Q(8,2), R(8,5) dan S(4,5) oleh transisi T= Contoh soal: Penyelesaian

2.Rotasi Rotasi pada bidang datar ditentukan oleh Titik pusat rotasi Besar sudut rotasi Arah sudut rotasi Arah sudut rotasi ditentukan oleh nilai +/- besar sudut rotasi, jika bernilai + maka arah sudut rotasi berlawanan dengan arah jarum jam, bernilai – maka arah sudut rotasi searah dengan arah putar jarum jam.

2.1 Rotasi terhadap titik pusat o(0,0) Jika titik P(x,y) diputar sebesar radian berlawanan arah dengan arah putar jarum jam (ditulis: ) terhadap titik pusat O(0,0) mka diperoleh bayangan titik P’(x’,y’) sehingga terdapat hubungan sebagai berikut: ѳ x’ = x cos ѳ – y sin ѳ Y’ = x sin ѳ – y cos ѳ Bukti

x’ = r cos α cos ѳ – r sin α sin ѳ x’ = x cos ѳ – y sin ѳ Jika titik P(x,y) diputar sebesar ѳ radian ( ) ke titik P(x’,y’) maka POP’ merupakan sektor lingkaran. Dengan demkian OP = OP’ = r. Pada ∆AOP x = r cos α y = r sin α () ) B A x’ = r cos (α+ѳ) x’ = r cos α cos ѳ – r sin α sin ѳ x’ = x cos ѳ – y sin ѳ Ѳ α y’ = r sin (α+ѳ) y’ = r sin α cos ѳ + r cos α sin ѳ y’ = y cos ѳ + x sin ѳ y’ = x sin ѳ + y cos ѳ

Penyelesaian Contoh soal Tentukan bayangan bangun ABC dengan koordinat titik A(2,3), B(6,3) dan C(5,6) diputar dengan terhadap titik pusat O(0,0). Penyelesaian

Jawab A(2,3) A’(x’,y’) = A’(3,-2) x’ = 2 cos (-90) - 3sin (-90) y’ = 2 sin (-90) + 3 cos (-90) y’ = 2 (-1) + 3 (0) = -2 C(5,6) 6 5 4 A(2,3) B(6,3) 3 B(6,3) B’(x’,y’) = B’(3,-6) 2 x’ = 6 cos(-90) – 3 sin(-90) x’ = 6 (0) – 3(-1) = 3 y’ = 6 sin(-90) + 3 cos(-90) y’ = 6 (-1) + 3 (0) = -6 1 6 7 8 9 1 2 3 4 5 1 C(5,6) C’(x’,y’) = C’(6,-5) A’(3,-2) 2 x’ = 5 cos (-90) – 6 sin(-90) x’ = 5 (0) – 6 (-1) = 6 y’ = 5 sin (-90) + 6 cos (-90) y’ = 5 (-1) + 6 (0) = -5 3 4 5 C’(6,-5) 6 B’(3,-6)

2.2 Rotasi terhadap titik pusat A(a,b) Jika titik P(x,y) diputar sebesar radian berlawanan arah dengan arah putar jarum jam (ditulis: ) terhadap titik pusat A(a,b) mka diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Dengan cara yang sama seperti pada pembuktian rotasi terhadap titik O(0,0)diperoleh hubungan sebagai berikut: ѳ () ) x’ – a = (x-a) cos ѳ – (y-b) sin ѳ y’-b = (x-a) sin ѳ + (y-b) cos ѳ

3. PencerminaN (refleksi) Pencerminan adalah suatu transformasi yang memindahkan titik-titik pada bidang dengan menggunakkna sifat bayangan cermin dari titik- titik yang akan dipindahkan, Pada pencerminan, bayangan suatu titik atau bangun diperoleh dengan cara sebagai berikut: Tentukan terlebih dahulu suatu garis yang akan menjadi sumbu cermin atau sumbu simetri, Gambar garis tegak lurus pada sumbu simetri dari titik-titik yang akan ditentukan bayangannya, Tentukan jarak antara titik dan sumbu simetri kemudian gunakan jarak tersebut untuk menentukan letak bayangan titik

Perhatikan gambar berikut, bayangan bangun ∆ABC terhadap garis MN (sebagai sumbu simetri pencerminan) Pencerminan ini akan memetakan titik-titik C “ “ C’ A A’ B B’ B’ / / C C’ B Perhatikan bahwa: AP = AP’ x x A A’ BQ = BQ’ CR = CR’

Contoh Tentukaan koordinat bayangan bangun jajargenjang ABCD dengan titik A(2,1), B(6,1), C(8,4) dan D(4,4) oleh pencerminan terhadap sumbu x Jawab Bangun jajargenjang ABCD dicerminkan terhadap sumbu X A (2,1) A’ (2,-1) B (6,1) B’ (6,-1) C (8,4) C’ (8,-4) D (4,4) D’ (4,-4) Jadi, koordinat bayangan bangun jajargenjang ABCD adalah adalah A” (2,-1), B (6,’1), C’ (8,-4), D’ (4,-4)

Dilatasi (Perbesaran Atau Perkalian) Dilatasi adalah suatu tranformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang bersankutan. Dilatsi yang berpusat pada titik asal O dan titik sembarang P(x,y) dengan masing-masing faktor skala k dilambangkan beturut- turut [O,k] dan [P,k]. Pada dilatasi suatu bangun, faktor k akan menentukan ukuran dan letak bangun bayanga. (1). Jika k > 1 maka bangun bayangan diperbesa dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. (2). Jika 0 < k < 1 maka bangun bayangan akan diperkecil dan bayangan akan terletak searah terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. (3). Jika -1 < k < 0 naka bangun bayangan diperkecil dan terletak berlainan arah terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. (4). Jika k < -1 maka bangun bayangan diperbesar dan terletak berlainan arah terhadap pusat dilatasi dan banun semula.

4.1 dilatasi terhadap titik pusat O (0,0) Jika titik A(x,y) didilatasikan terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala didapat bayangan titik A’ (x’,y’) maka : x’=k x y’=k y Perhatikan gambar berikut. y x A’(x’,y’) A(x,y)

Jawab T= : P(4,2) P’(4-2,2+4) = P’(2,6) T= R’(6,9) 9 S’(2,9) T= : P(4,2) P’(4-2,2+4) = P’(2,6) 8 7 T= : Q(8,2) Q’(8-2,2+4) = Q’(6,6) Q’(6,6) 6 P’(2,6) S(4,5) : R(8,5) R’(8-2,5+4) = R’(6,9) 5 R(8,5) T= 4 : S(4,5) S’(4-2,5+4) = S’(2,9) 3 T= 2 P(4,2) Q(8,2) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9