Aljabar Linear Aflich Yusnita Fitrianna, M.Pd. Perubahan Basis Aljabar Linear Aflich Yusnita Fitrianna, M.Pd.

Perubahan Basis Matriks Koordinat Perubahan Basis Matriks Transisi Perubahan Basis Ortonormal

Matriks Koordinat Misalkan 𝑆= 𝑣 1 , 𝑣 2 ,⋯, 𝑣 𝑛 merupakansuatu basis bagiruangvektor𝑉. Setiapvektor 𝑣 ∈ 𝑉dapatditulissebagaikombinasi linear darivektor-vektor basis, tulis 𝑣 = 𝑘 1 𝑣 1 + 𝑘 2 𝑣 2 +⋯+ 𝑘 𝑛 𝑣 𝑛 Matrikskoordinat 𝑣 relatifterhadap𝑆 adalah

Perubahan Basis Mengubah basis darisuaturuangvektor𝑉 yang semula𝐵menjadi 𝐵 ′ Akibatnya, matrikskoordinatdarisuatu 𝑣 yaitu 𝑣 𝐵 berubah menjadi 𝑣 𝐵 ′

Misalkan 𝐵= 𝑢 1 , 𝑢 2 basis lama; dan 𝐵 ′ = 𝑢 1 ′ , 𝑢 2 ′ basis baru Misalkanmatrikskoordinatuntukvektor-vektor basis baruterhadap basis lama adalahsebagaiberikut : 𝑢 1 ′ 𝐵 = 𝑎 𝑏 𝑢 2 ′ 𝐵 = 𝑐 𝑑 atau 𝑢 1 ′ =𝑎 𝑢 1 +𝑏 𝑢 2 ⋯1) 𝑢 2 ′ =𝑎 𝑢 1 + 𝑏 𝑢 2 ⋯2)

Misalkan pula 𝑣 suatuvektor di 𝑉danmisalkan 𝑣 𝐵 ′ = 𝑘 1 𝑘 2 Matriks koordinat 𝒗 relatifterhadapbasis baru 𝑩 ′ atau 𝑣 = 𝑘 1 𝑢 1 ′ + 𝑘 2 𝑢 2 ′ ⋯3) Matriks koordinat 𝒗 relatifterhadapbasis lama 𝑩diperolehdengansubstitusi⋯1) dan ⋯2)kedalampersamaan⋯3) 𝑣 = 𝑘 1 𝑢 1 ′ + 𝑘 2 𝑢 2 ′ = 𝑘 1 𝑎 𝑢 1 + 𝑏 𝑢 2 + 𝑘 2 𝑐 𝑢 1 + 𝑑 𝑢 2 = 𝑘 1 𝑎+ 𝑘 2 𝑐 𝑢 1 + 𝑘 1 𝑏+ 𝑘 2 𝑑 𝑢 2

𝑣 𝐵 = 𝑘 1 𝑎+ 𝑘 2 𝑐 𝑘 1 𝑏+ 𝑘 2 𝑑 atau 𝑣 𝐵 = 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑘 1 𝑘 2 𝑣 𝐵 = 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑣 𝐵 ′ Selanjutnya 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 disebutmatrikstransisi

Matriks Transisi 𝑣 𝐵 =𝑃 𝑣 𝐵 ′ 𝑣 𝐵 =𝑃 𝑣 𝐵 ′ 𝑃merupakanmatrikstransisidari basis baru 𝐵 ′ ke basis lama 𝐵. Kolom-kolommatriks𝑃adalahmatriks- matrikskoordinatdarivektor-vektor basis barurelatifterhadap basis lama yaitu 𝑢 1 ′ 𝐵 , 𝑢 2 ′ 𝐵 ,⋯, 𝑢 𝑛 ′ 𝐵 Sehingga𝑃= 𝑢 1 ′ 𝐵 | 𝑢 2 ′ 𝐵 |⋯| 𝑢 𝑛 ′ 𝐵

Contoh Soal 1 Basis 𝐵= 𝑢 1 , 𝑢 2 dan 𝐵 ′ = 𝑢 1 ′ , 𝑢 2 ′ dengan Tentukan Matrikstransisi𝑃 dari 𝐵 ′ ke 𝐵 𝑣 𝐵 jika 𝑣 𝐵 ′ = −3 5

Jawab a). 𝑢 1 ′ =𝑎 𝑢 1 + 𝑏 𝑢 2 1 1 =𝑎 1 0 +𝑏 0 1 →𝑎=1 dan 𝑏=1 sehingga 𝑢 1 ′ =𝑎 𝑢 1 + 𝑏 𝑢 2 1 1 =𝑎 1 0 +𝑏 0 1 →𝑎=1 dan 𝑏=1 sehingga 𝑢 1 ′ 𝐵 = 𝑎 𝑏 = 1 1 𝑢 2 ′ =𝑐 𝑢 1 + 𝑑 𝑢 2 2 1 =𝑐 1 0 +𝑑 0 1 →𝑐=2 dan 𝑑=1 sehingga 𝑢 2 ′ 𝐵 = 𝑐 𝑑 = 2 1

Matriks transisi𝑃 dari 𝐵 ′ ke 𝐵 yaitu 𝑃= 𝑢 1 ′ 𝐵 | 𝑢 2 ′ 𝐵 = 1 2 1 1 b

Contoh Soal 2 Diketahui hal yang samadengancontoh1 Tentukanmatrikstransisi𝑄 dari𝐵ke 𝐵 ′ 𝑢 1 =𝑎 𝑢 1 ′ +𝑏 𝑢 2 ′ 𝑢 2 =𝑐 𝑢 1 ′ +𝑑 𝑢 2 ′ 1 0 =𝑎 1 1 +𝑏 2 1 0 1 =𝑐 1 1 +𝑑 2 1 1 2 1 1 1 0 ~ 1 2 0 −1 1 −1 ~ 1 2 0 1 1 1 ~ 1 0 0 1 −1 1 𝑎=−1,𝑏=1 Sehingga 𝑢 1 𝐵 ′ = −1 1

1 2 1 1 0 1 ~ 1 2 0 −1 0 1 ~ 1 2 0 1 0 −1 ~ 1 0 0 1 2 −1 𝑐=2,𝑑=1 Sehingga 𝑢 2 𝐵 ′ = 2 1 Matriks transisi𝑄 dari 𝐵 ke 𝐵 ′ yaitu 𝑄= 𝑢 1 𝐵 ′ | 𝑢 2 𝐵 ′ = −1 2 1 −1 Perhatikanbahwa 𝑃𝑄= 1 2 1 1 −1 2 1 −1 = 1 0 0 1 =𝐼 Sehingga 𝑄= 𝑃 −1

Perubahan Basis Ortonormal Jika 𝑃matrikstransisidarisuatu basis ortonormalke basis ortonormallainnyapada RHKD, maka𝑃merupakansebuahmatriksortogonalden gan 𝑃 −1 = 𝑃 𝑇