Assalamu’alaikum.wr.wb. Disusun oleh: Risnawati Putri

SERBA SERBI PHYTAGORAS TEOREMA PHYTAGORAS SERBA SERBI PHYTAGORAS MATERI LATIHAN SOAL APLIKASI PHYTAGORAS

PENGERTIAN TEOREMA PHYTAGORAS Sebelum memasuki Teorema Phytagoras yang perlu diingat : Luas persegi Luas segitiga siku-siku Luas kuadrat suatu bilangan Akar kuadrat suatu bilangan Teorema Phytagoras menyatakan bahwa pada suatu segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya. Adapun fungsi dari teorema phytagoras tersebut adalah untuk menentukan jenis dari suatu segitiga yang diketahui panjang sisi-sisinya, menentukan perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku khusus, serta menghitung panjang diagonal sisi dan diagonal ruang pada kubus dan balok. Teorema tersebut juga dapat membantu manusia dalam banyak bidang, misalnya dikehidupan sehari-hari dapat digunakan untuk merencanakan konstruksi bangunan (menghitung panjang sisi rangka kuda-kuda yang berbentuk segitiga siku-siku).

Segitiga Siku-siku A hypotenusa Sisi siku-siku Sudut siku-siku B C

Pembuktian phytagoras Rumus Phytagoras adalah a2 + b2 = c2. Kurang lebih 2500 tahun yang lalu seorang filsuf  yunani bernama Pythagoras menemukan fakta menarik tentang segitiga. Beliau menyatakan dalam sebuah segitiga siku-siku (salah satu sudutnya 90 derajat), kuadrat sisi miringnya akan sama dengan jumlah kuadrat dari 2 sisi yang lain.

Jika kita punya sebuah segitiga siku-siku dengan sisi a,b, dan c Akan berlaku: a2 + b2 = c2 a Dimana dalam teorema yang dikemukakan oleh Pythagoras, sisi c atau sisi miring disebut dengan hipotenusa

Pembuktian Pertama Jadi, untuk sgitiga siku-siku : Kuadrat sisi miring = kuadrat sisi-sisi lainnya c² = a² + b² Perhatikan gambar di samping! Keempat segitiga di samping memiliki ukuran sisi-sisi yang sama, yaitu a, b, dan c. b a Dapatkah kalian menghitung luas persegi Putih di samping! a c b c Ya, luas persegi putih di samping adalah L=c² c b Sekarang, apakah luas persegi putih tadi sama dengan luas daerah putih sekarang? Mengapa? c a Padahal luas persegi putih sekarang adalah L=a² + b² a b Jadi, c² = a² + b²

Pembuktian Kedua c² b² a² c b a Karena L3 = a² + b² dan L3 = c² Maka : c² = a² + b² Jumlah luas persegi sebelah kanan adalah jumlah dari luas persegi biru dan luas persegi kuning. Maka diperoleh : L3 = L1 + L2, Jadi L3 = a² + b² a²

Kuadrat sisi miring = jumlah dari sisi-sisi lainnya Pembuktian Ketiga Perhatikan gambar di samping Persegi besar di samping terdiri atas 4 buah segitiga siku-siku yang memiliki panjang sisi a, b, c dan satu persegi kecil c Berapakah luas daerah persegi besar di samping? a b Luasnya adalah L = c² Berapakah luas daerah persegi hijau di samping? Luasnya adalah luas persegi kanan ditambah luas persegi kiri b Sehingga diperoleh L = a² + b² a Karena luas persegi besar tadi sama dengan luas persegi sekarang maka c² = a² + b² Atau Kuadrat sisi miring = jumlah dari sisi-sisi lainnya a

Pembuktian Keempat Segita siku-siku I Dari gambar sebuah rumah di samping ada berapakah jumlah segitiga siku-siku yang dapat dibentuk Segita siku-siku II I II Segita siku-siku IV Segita siku-siku III IV III Segita siku-siku V V Jadi dari gambar sebuah rumah di samping terdapat ada 6 buah segitiga siku-siku VI Perhatikan gambar sebuah rumah di atas ! Segita siku-siku VI

Contoh Soal 1 2. Panjang sisi siku-siku dalam segitiga siku-siku adalah 4x cm dan 3x cm. Jika panjang sisi hipotenusanya 20 cm. Tentukan nilai x. Jawab: AC2 = AB2 + BC2 202  = (4x)2 + (3x)2 400  = 16x2 + 9x2 400  = 25x2 16    = x2 4 = x Pada suatu segitiga ABC siku-siku di titik A. panjang AB= 4 cm dan AC= 3 cm.  Hitunglah panjang BC! Jawab: BC2 = AC2 + AB2 BC2 = 32 + 42 BC2 = 9 + 16 BC2 = 25 BC  = 5 cm

1. Kebalikan Teorema Pythagoras Menentukan Jenis Segitiga jika Diketahui Panjang Sisinya dan Triple Pythagoras 1. Kebalikan Teorema Pythagoras Dalil pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga ABC, jika sudut A siku-siku maka berlaku a2 = b2+c2. Dalam    ABC, apabila a adalah sisi dihadapan sudut A, b adalah sisi dihadapan sudut B, c adalah sisi sihadapan sudut C, maka berlaku kebalikan Teorama Pythagoras, yaitu: Jika a2 = b2 + c2 maka    ABC siku-siku di A. Jika b2 = a2 +c2 maka    ABC siku-siku di B. Jika c2 = a2 + b2 maka    ABC siku-siku di C.

Jika a2 = b2 + c2 maka ABC adalah segitiga siku-siku. Dengan menggunakan prinsip kebalikan dalil Pythagoras, kita dapat menentukan apakah suatu segitiga merupakan segitiga lancip atau tumpul. Jika a2 = b2 + c2 maka     ABC adalah segitiga siku-siku. Jika a2 > b2 + c2 maka     ABC adalah segitiga tumpul. Jika a2 < b2 + c2 maka     ABC adalah segitiga lancip.

Contoh Soal 2 Tentukan jenis segitiga yang memiliki panjang sisi 5 cm, 7 cm dan 8 cm ? Jawab: dik : sisi terpanjang adalah 8 cm, maka a= 8cm, b = 7cm dan c = 5 cm a2 = 82 = 64 b2 + c2 = 72 + 52 b2 + c2 = 49 + 25 b2 + c2 = 74 Karena a2 < b2 + c2, maka segitiga tersebut adalah segitiga lancip

2. Triple Pythagoras Yaitu pasangan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kesamaan “kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan yang lain.” Contoh: 3, 4 dan 5 adalah triple Pythagoras sebab, 52 = 42 + 32

Latihan Soal 1 Hitunglah panjang BC ! Penyelesaian: BC2 = AB2 + AC2 Segi tiga ABC siku-siku di titik A ,diketahui panjang AB = 3 cm dan AC = 4 cm Hitunglah panjang BC ! Penyelesaian: BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 BC = √25 = 5 Jadi panjang BC = 5 Cm A B

Latihan Soal 2. Segi tiga ABC siku-siku di titik A, diketahui panjang sisi miring BC = 10 cm, dan AB = 6 cm. Hitunglah panjang sisi AC Penyelesaian: BC2 = AB2 + AC2 102 = 62 + AC2 100 = 36 + AC2 AC2 = 100 - 36 = 64 AC = √64 = 8 Jadi panjang sisi AC = 8 Cm C 2 10 ? A B 6

Latihan Soal Tentukan jenis segitiga yang memiliki panjang sisinya : 8cm, 7cm dan 12 cm Jawab: dik : sisi terpanjang adalah 12 cm, maka a= 12 cm, b = 7cm dan c = 8 cm Penyelesaian: a2 = 122 = 144 b2 + c2 = 72 + 82 b2 + c2 = 49 + 64 b2 + c2 = 113 Karena a2 > b2 + c2, maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul

Penerapan Phytagoras dalam kehidupan sehari-hari 1. Penerapan dalam menyelesaikan soal Banyak soal baik dalam matematika dan fisika yang untuk menyelesaikannya perlu menggunakan rumus Pythagoras. Contoh soal Pythagoras. Tentukan diagonal ruang dari balok dengan panjang 3 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 5 cm. Untuk menentukan panjang diagonal ruang balok tersebut mau tidak mau kita harus menggunakan Pythagoras. Diagonal bidang =  √(32 + 42) =√25 = 5 cm Diagonal ruang = √(52 + 52) = √250 = 5√10 cm

2. Penerapan dalam praktek nyata Penerapan teorema Pythagoras dilakukan di banyak bidang terutama bidang arsitektur. Arsitek menggunakannya untuk mengukur kemiringan bangunan, misalnya kemiringan sebuah tanggul agar mampu menahan tekanan air. Ini juga sangat membantu dalam menentukan biaya pembuatan bangunan. Seorang tukang kayu pun untuk membuat segitiga penguat pilar kayu menggunakan teorema Pythagoras

Contoh Soal Phytagoras Pada Kehidupan sehari-hari : Seorang anak menaikkan layang-layang dengan benang yang panjangnya 100 meter. Jarak anak ditanah dengan titik yang tepat berada dibawah layang-layang adalah 60 meter. Hitunglah ketinggian layang-layang tersebut ! C BC2 = AC2 - AB2 BC2 = 1002 _ 602 BC2 = 10000 - 3600 BC2 = 6400 BC = √6400 = 80 A B Jadi panjang sisi BC = 80 m

Terima kasih Wassalamu’alaikum.wr.wb