Model Persamaan Ruang Keadaan Pertemuan 12 Matakuliah : Sistem Pengaturan Dasar Tahun : 2010 Model Persamaan Ruang Keadaan Pertemuan 12

Learning Outcomes Pada akhir pertemuan ini, diharapkan Mahasiswa dapat menunjukkan hubungan antara antara model sistem konvensional dengan sistem pengaturan persamaan Ruang Keadaan (state space)

Outline Materi Model Ruang Keadaan: Konsep state State space Definisi , model persamaan state variable state space persamaan keadaan matrix transisi keadaan Hubungan Fungsi alih dengan pers. ruang keadaan persamaan output controllability observability

Model Persamaan Ruang Keadaan ( State Space Model ) Teori kontrol modern diperlukan karena kecenderungan sistem yang makin kompleks yang mungkin mempunyai multiple input dan multiple output. Sistem kontrol modern dengan model ruang keadaan meng- gunakan pendekatan wawasan waktu ( time domain ) berbeda dengan sistem kontrol konvensional yang menggunakan wawasan frekuensi. State dari suatu sistem dinamik adalah himpunan variabel-variabel yang paling kecil ( disebut variabel keadaan / state variable ) dimana pengetahuan tentang variabel ini pada t = t0 bersama dengan pengetahuan tentang input pada t  0 secara lengkap akan menentukan kelakuan dari sistem untuk t  t0. State variable menentukan state / keadaan dari sistem dinamik. Jika paling sedikit diperlukan n variabel x1, x2 , ……..xn untuk menggambarkan secara lengkap kelakuan dari sistem dinamik maka n variabel diatas adalah himpunan variabel keadaan.

Persamaan Ruang Keadaan State vector adalah vektor yang n buah komponen-komponennya merupakan n buah variabel keadaan. State space adalah ruang berdimensi n yang sumbu koordinatnya terdiri dari sumbu x1, sumbu x2, …….., sumbu xn. Persamaan Ruang Keadaan A(t) : state matrix. B(t) : input matrix. C(t) : output matrix. D(t) : direct transmission matrix.

Model Diagram Blok sistem dengan ruang keadaan Pada sistem mekanik berikut akan diturunkan persamaan keadaan dan persamaan outputnya. u(t) adalah gaya luar yang merupakan input pada sistem dan y(t) adalah output yang merupakan perpindahan dari massa m dari titik setimbang ketika tidak ada gaya luar

u(t) adalah gaya luar yang merupakan input pada sistem dan Pada sistem mekanik berikut merupakan sistem orde 2 akan diturunkan persamaan keadaan dan persamaan outputnya. u(t) adalah gaya luar yang merupakan input pada sistem dan y(t) adalah output yaitu perpindahan posisi dari massa m dari titik setimbang ketika tidak ada gaya luar B M u(t) y(t) K

Dari persamaan (1) , (2) dan (3) :

Persamaan diatas merupakan persa-maan keadaan dan persamaan output dari sistem mekanik dan mempunyai bentuk standar : dengan matrik D = 0

Fungsi Alih terhadap Persamaan Ruang Keadaan Persamaan keadaan dan output sistem dinyatakan sbb : Jika pada persamaan di atas dilakukan transformasi Laplace dengan kondisi awal x(0) adalah nol, maka : SX = AX + BU Y = CX + DU ( sI – A ) X = B.U masukkan persamaan ini ke persamaan untuk Y,

Y = C( sI – A )-1BU + DU Y = [ C( sI – A )-1B + D ] U Fungsi alih G(s) adalah ratio output terhadap input : Contoh soal : Tentukanlah fungsi alih sistem mekanik pada contoh soal sebelumnya.

Terminologi State space: Sekumpulan minimum variable;shg dgn mengetahui keadaan variable tsb dpt menggambarkan keadaan sistem State variable Sekumpulan variable minimum untuk dptmendeskripsikan sistem State vector Vektor yg menentukan secara unik keadaan sistem State space Ruang berdimensi n dengan sumbu x1, x2,.......xn Dengan x adalah state variable Persamaan state space Persamaan untuk mendeskripsikan sistem; tidak unik tetapi mempunyai jumlah state variable yg sama utk sistem yg sama

Model Ruang Keadaan (state space)

1 + s 3 2 r(t) e x2 x3 x1= y 4     dalam bentuk matriks (state space) dituliskan sebagai:

u X1 X2 y

Pers. Diferensial sistem: u y X1 Pers. Diferensial sistem: dalam bentuk persamaan keadaan:  

syms s t a=[-1 1 1;0 -5 0;0 0 -3] b=[0 0 0;3 0 0;0 2 0] c=[1 0 0] u(1)=laplace(diff(t)) u(2)=laplace(diff(2*t)) u=[u(1);u(2);0] w=s*eye(3)-a wi=inv(w) x=wi*b*u xt=ilaplace(x) x1=x(1) x2=x(2) x3=x(3) yt=x(1) pretty(yt)

Controllability sistem pengaturan Sistem disebut controlable jika utk semua input u(t) maka semua state dapat dialihkan berdasarkan input tsb. observability sistem pengaturan Pd sistem yg observable maka semua state dpt diketahui keadaannya (‘’dpt diukur ’’) G0 G1 Sistem dgn 4 diagram sub-sistem: G0 =unobservable & uncontrollable G1 = controllable & unobservable G2 =controllable & observable G3 = uncontrollable & observable G2 U(t) G3