RUANG VEKTOR dan SUBRUANG VEKTOR (VECTOR SPACE & SUBSPACE)
TUJUAN Mahasiswa akan dapat membuktikan bahwa suatu sistem adalah ruang vektor dan subspace
Cakupan Ruang Vektor Subspace
DEFINISI Ruang vektor V atas field skalar K adalah himpunan tak kosong dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang bersifat sbb.
Ciri Ruang Vektor Tertutup terhadap penjumlahan vektor dan perkalian skalar Komutatif penjumlahan vektor Asosiatif penjumlahan vektor Ada vektor 0 yang berlaku sbg unkes penjumlahan vektor Ada vektor –v yang berlaku sbg invers aditif dari v k(u+v) = k.u+k.v (k+m)u = ku+mu (km)u = k(mu) 1u=u, 1K Semua ini untuk setiap u,v V dan setiap k,mK
Beberapa contoh Manakah yang merupakan ruang vektor? Ruang R1, R2, R3, …., Rn atas field riil Himpunan polinomial riil: p(t)=a0+a1t+a2t2+….+antn atas field riil Himpunan matriks 2x2 atas field riil Himpunan matriks mxn atas field riil V={(a,b)} atas field riil dengan operasi-operasi: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), k(a,b)=(ka,b) (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), k(a,b)=(ka,kb) (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), k(a,b)=(k2a,k2b)
SUBSPACE = Ruang Vektor Bagian Misal V ruang vektor atas field K. W adalah subspace dari V, bila W V, W tak kosong dan W sendiri merupakan ruang vektor atas field K. Atau W adalah subspace dari ruang vektor V atas field K, jika W dan berlaku kw1+mw2 W, untuk setiap w1,w2W dan setiap k,m K.
Sifat-sifat Irisan dua subspace juga merupakan subspace atas field yang sama. Gabungan dua subspace merupakan subspace bila yang satu terkandung dalam yang lain.
Contoh-contoh Manakah yang subspace: V=R3, W={(a,b,c), a,b riil} V=R3, W={(a,2b,3c), a,b,c riil} V=R3, W={(a,b,c), a=b=c} V=R3, W= kumpulan bidang di R3 yang melalui (0,0,0) V=R3, W={(a,b,c), a+b+c=0} 6. V=R3, W={(a,b,c), a2+b2+c2 1, a,b,c riil} 7. V=R3, W={(a,b,c), a.b.c rasional}
Penutup Ruang Vektor harus memenuhi 9 sifat tertentu. Apa sajakah? Subspace: bagian dari ruang vektor yang juga merupakan ruang vektor.