BARISAN DAN DERET Oleh : Haryono Fajar

STANDAR KOMPETENSI MENGGUNAKAN KONSEP BARISAN DAN DERET DALAM PEMECAHAN MASALAH

KOMPETENSI DASAR MENENTUKAN SUKU KE – n BARISAN DAN JUMLAH n SUKU DERET ARITMATIKA DAN GEOMETRI MENGGUNAKAN NOTASI SIGMA DALAM DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA DALAM PEMBUKTIAN MERANCANG MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN DERET MENYELESAIKAN MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN DERET DAN PENAFSIRANNYA

MATERI POKOK / URAIAN MATERI POLA BILANGAN BARISAN BILANGAN BARISAN DAN DERET ARITMATIKA DAN GEOMETRI BARISAN DAN DERET ARITMATIKA SUKU KE n BARISAN DAN DERET ARITMATIKA SISIPAN SUKU TENGAH JUMLAH n SUKU DERET ARITMATIKA BARISAN DAN DERET GEOMETRI SUKU KE n BARISAN DAN DERET GEOMETRI JUMLAH n SUKU DERET GEOMETRI DERET GEOMETRI TA HINGGA NOTASI SIGMA INDUKSI MATEMATIKA MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH SOLUSI DARI MASALAH MATEMATIKA

PENGERTIAN BARISAN BARISAN ADALAH SUSUNAN BILANGAN YANG MEMILIKI ATURAN TERTENTU CONTOH : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ….( suku berikutnya ditambah 2 dari suku sebelumnya ) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … ( suku berikutnya dikali 2 dari suku sebelumnya ) 9, 3, 1/3, 1/9, 1/27, … ( suku berikutnya merupakan kelipatan 1/3 dari suku sebelumnya )

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA BARISAN ARITMATIKA : Barisan yang memiliki selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap Contoh 1, 3, 5, 7, 9, … . selisihnya : 3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 2 10, 8, 6, 4, 2,… . selisihnya : 8 – 10 = 6 – 8 = 4 – 2 = - 2 Secara umum jika dapat dibuat : U1’ U2, U3, U4,…. Un Jika U1 = a dan selisih antara suku yang berurutan (beda ) = b maka a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b, …. . a + ( n – 1 ) b

Jika suku pertama disebut a dan selisih suku yang berurutan b maka : U1, U2, U3, U4, U5, U6, …… Un-2, Un-1, Un a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b, a+5b, …… , a+(n-3)b, a+(n-2)b, a+(n-1)b

SUKU KE - n Un = a + ( n – 1 ) b Un = Suku ke – n a = suku pertama b = beda ( selisih suku berurutan ) n = banyak suku

DIKETAHUI BARISAN ARITMATIKA 3, 9, 15, 21, …... TENTUKA SUKU KE – 20 CONTOH DIKETAHUI BARISAN ARITMATIKA 3, 9, 15, 21, …... TENTUKA SUKU KE – 20 jwb : U20 = a + ( n – 1 ) b = 3 + ( 20 – 1 ) 6 = 3 + 19. 6 = 3 + 114 = 117

SUKU TENGAH U1, U2, U3 SUKU TENGAHNYA ADALAH U2 U2 = a + b = ½ ( a + a + 2b ) = ½ ( U1 + U3 ) 2. U1, U2, U3, U4, U5 SUKU TENGAHNYA ADALAH U3 U2 = a + 2b = ½ ( 2a + 4b ) = ½ ( a + a + 4b ) = ½ ( U1 + U5 ) Dan seterusnya … U1, U2, U3, U4, U5 …. . Un. Ut = ½ ( U1 + Un ) dengan n = ganjil

SISIPAN Jika diketahui 2 bilangan X dan Y akan disisipkan sebanyak k bilanga sehingga terbentuk barisan aritmatika : x, x + bs, x + 2bs, x + 3bs, ….. x + kbs, y sehingga beda sisipannya adalah … . bs = y – ( x + kbs ) bs + kbs = y – x bs = ( y – x )/(1 + k) bs = beda sisipan y = bilangan kedua x = bilangan pertama k = banyak sisipan

CONTOH SOAL SISIPAN Diantara 7 dan 107 disisipkan 19 bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika. Tentukan 1. beda barisan yang terbentuk 2. Suku ke – 10 barisan yang terbentuk 3. Suku tengah jika ada Jawab : 1. Beda barisan Diketahui x = 7 dan y = 107 bs = ( y – x )/(k + 1) = (107 – 7 )/(19+1) = ( 100 ) / 20 = 100/20 = 5 2. Suku ke – 10 U10 = a + ( n – 1 ) bs = 7 + ( 10 – 1 ) 5 = 7 + 9.5 = 7 + 45 = 52 3. Un = 107 107 = 7 + ( n – 1 ) 5 100 = 5n – 5 105 = 5n n = 105 / 5 n = 21 Jadi Utengah = ½ ( U1 + U21 ) = ½ ( 7 + 107 ) = ½ ( 114 ) = 57 Jadi suku tengahnya adalah 57

DERET ARITMATIKA JIKA U1, U2,, U3, …. .Un MAKA DERETNYA ADALAH U1 + U2, + U3 + …. + Un JUMLAH DERET ARITMATIKA : Sn = U1 + U2, + U3 + U4 + …. + Un-3 + Un-2 + Un-1 + Un Sn = a + a+b + a+2b + … + a+(n–4)b + a+(n–3)b + a+(n–2)b + a+(n–1)b Sn =a+(n–1)b + a+(n–2)b + a+(n–3)b +… + a+3b + a+2b + a+b + a 2Sn = a +Un+ a +Un+ a +Un+ ….+ a +Un+ a +Un+ a +Un+ a +Un 2Sn = n (a +Un ) sn= ½ n ( a + Un )

Tentukan jumlah 20 bilangan dari deret 3 + 7 + 11 + 15 + … . CONTOH SOAL Tentukan jumlah 20 bilangan dari deret 3 + 7 + 11 + 15 + … . Tentukan jumlah dari deret bilangan 1 + 1 ½ + 2 + 2 ½ + … + 98 ½ 3. Diketahui deret aritmatika dengan U1 = 4 dan U8 = 49. tentukan jumlah 40 bilangan Diketahui jumlah suku kedua dan ke empat adalah 20 dan jumlah suku ke tiga dengan ke lima adalah 38. tentukan rumus jumlah n suku

BARISAN GEOMETRI Pengertian Barisan Geometri adalah barisan bilanga yang memiliki rasio konstan U1, U2, U3, U4, U5, … Un,

Lanjutan … U1, U2, U3, U4, U5, … Un, Jika U1 = a  U1 = a U2 = ar Diketahui barisan 2, 4, 8, … Tentukan U7 jawab : U7 = ar7-1 U7 = 2.26 U7 = 2. 64 U7 = 128 U1, U2, U3, U4, U5, … Un, Jika U1 = a  U1 = a U2 = ar U3 = ar2 U4 = ar3 …. Un = ar n-1

Latihan soal Diketahui suku pertama barisan geometri adalah 3 dan rasionya adalah 1/3. tentukan suku ke 8 Dikethui suku ke – 2 suatu barisan geometri adalah 4 dan suku ke – 6 adalah

Suku tengah Suku tengah barisn geometri dapat dilihat berikut ini : U1, U2, U3, maka suku tengahnya U2, U2 =

Lanjutan : U1, U2, U3, U4, U5, maka suku tengahnya U3, U3 =

Lanjutan : Dengan cara yang sama jika U1, U2, U3, U4, … Uk Dengan k adalah ganjil maka suku tengahnya Ut = dengan k = ganjil Ut = suku tengah Uk = suku ke – k ( terakhir )

DERET GEOMETRI

Contoh soal deret geometri Tentukan jumlah 10 suku pertama deret geometri 2, 4, 8, ….

DERET GEOMETRI TAK HINGGA