SPB 1.4 KUANTOR SPB 1.5 TAUTOLOGI, KONTRADIKSI DAN EKIVALENSI POKOK BAHASAN 1 LOGIKA SPB 1.4 KUANTOR SPB 1.5 TAUTOLOGI, KONTRADIKSI DAN EKIVALENSI Oleh Dra. Hj. Nurul Saila, MMPd

SPB 1.4 KUANTOR Fungsi pernyataan Kuantor umum/kuantor universal Kuantor khusus/kuantor eksistensial Negasi pernyataan yg mengandung kuantor Fungsi pernyataan dg lebih dari satu variabel

Fungsi pernyataan Definisi: Suatu fungsi pernyataan adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta pembicaraannya Fungsi pernyataan ditulis: p(x) p(a) adalah pernyataan yg bernilai benar atau salah tp tdk keduanya, untuk setiap a anggota semesta pembicaraa. Contoh: p(x)= 1+x>5 adalah fungsi pernyataan pd A=himp bil asli adalah bkn f pernyataan pd K=himp bil komplek

Kuantor umum Simbol  dibaca: ‘untuk semua’ atau ‘untuk setiap’ disebut kuantor umum. Jika p(x) fungsi pernyataan pd himp A, maka (xA)p(x) atau xA.p(x) atau xA p(x) adalah suatu pernyataan, dibaca: ‘untuk setiap x elemen A, p(x) mrpk pernyataan yg benar’ atau ‘untuk semua x berlaku p(x)

Contoh: Semua manusia tdk kekal x (x+3>1) pd A={bil Asli}

Kuantor khusus Simbol  dibaca: ‘ada’ atau ‘untuk beberapa’ atau ‘untuk paling sedikit satu’ disebut kuantor khusus. Jika p(x) fungsi pernyataan pd himp A, maka (xA)p(x) atau xA.p(x) atau xA p(x) adalah suatu pernyataan, dibaca: ‘ada x elemen A, sdhg p(x) mrpk pernyataan yg benar’ atau ‘untuk beberapa x berlaku p(x)

Contoh: Beberapa perwira TNI adalah wanita x (x+1>5) pd A={bil Asli} x (x+3<1) pd A={bil Asli}

Negasi pernyataan kuantor Negasi pernyataan yg mengandung kuantor universal adalah pernyataan yg mengandung kuantor eksistensial, dan sebaliknya. -x p(x)  x –p(x) -x p(x)  x-p(x)

Contoh: Tentukan negasi dari pernyataan berikut: Semua manusia tidak kekal Beberapa perwira TNI adalah wanita x (x+3<1)

Fungsi pernyataan dg lebih dari satu variabel Didefinisikan A1, A2, A3, …, An. Suatu fungsi pernyataan yg mengandung variabel pd himp. A1x A2 x A3 x… x An, sdhg p(a1, a2, a3, …, an) suatu pernyataan untuk a1, a2, a3, …, an anggota A1x A2 x A3 x… x An.

Contoh: f(x,y)= x menikah dg y, didefinisikan pd {pria}x{wanita} f(x,y,z)= 2x-y+5z<10, didefinisikan pd AxAxA, A={bil Asli} x y (x+y=1) pd A={bil Asli} x y z (x+y+z >5 pd A ={bil Asli}

SPB 1.5 TAUTOLOGI, KONTRADIKSI DAN EKIVALENSI A. Tautologi Definisi: Suatu pernyataan yang bernilai benar untuk setiap nilai kebenarannya disebut tautologi(T). Contoh: p  -p p -p p-p B S

B. Kontradiksi Definisi: Suatu pernyataan yang bernilai salah untuk setiap nilai kebenarannya disebut kontradiksi(F). Contoh: p -p p -p p -p B S

C. Ekivalensi Definisi: Dua pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran yg sama disebut ekivalen /berekivalensi logis (). Contoh: p  q  -p  q p q -p pq -pq B S

Sifat-sifat pernyataan yg ekivalen Komutatif : p  q  q  p p  q  q  p Assosiatif : p  (q  r)  (p  q)  r p  (q  r)  (p  q)  r Idempoten : p  p  p p  p  p Identitas : p  T  T, p  F  p p  T  p, p  F  F

Distributif : p  (q  r)  (p  q)  (p  r) Komplementer : p-p T, -TF, -(-p)p p-p F, -FT De Morgan : -(p  q)  -p -q -(p  q)  -p  -q Penyerapan/absorbsi : p  (p  q)  p p  (p  q)  p

Latihan Tunjukkan bahwa: pq  -p  q pq  (pq)  (qp) Sederhanakan pernyataan-pernyataan berikut: -(p-q) -(-pq) Buktikan bahwa –(p-p) adalah suatu tautologi Buktikan bahwa (p q)-(pq) suatu kontradiksi

Jawab Tunjukkan bahwa: pq  -p  q p Q -p pq -pq B S

p Q -p pq -pq B S

2. pq  (pq)  (qp) p q pq pq qp (pq)(qp) B S p q pq pq qp

p q pq pq qp (pq)(qp) B S

Sederhanakan pernyataan-pernyataan berikut: -(p-q) -(-pq) Jawab: 1. -(p-q)  -p  q (De Morgan) 2. -(-pq)  -(-(-p)q) (ekivalen)  -(pq) (komplemen)  -p  -q) (De Morgan)

Buktikan bahwa –(p-p) adalah suatu tautologi Buktikan bahwa –(p-p) adalah suatu tautologi. Bukti: –(p-p)  -(F)  T Terbukti

Buktikan bahwa (p q)-(pq) suatu kontradiksi (p q)-(pq)  (p q)(-p-q) (De Morgan)  (p q)(-q-p) (komutatif)  p  (F -p) (assosiatif)  p  (-p  F) (komutatif)  F F (assosiatif)  F (idempoten) Terbukti

Tugas Sederhanakan pernyataan berikut: a) -(-pq) b) -(-pq) Manakah diantara pernyataan berikut tautologi: a) p(pq) b) p(pq) c) (pq)p d) (pq)p e) q(pq) Buktikan pernyataan berikut: p q  -(p-q) p(qr)(pq)(pr)

TUGAS KELOMPOK Membuat resume/rangkuman materi spb 1.6 dan 1.7 dari referensi 1. dikumpulkan pd pertemuan 4.