Suatu Matriks PANGKAT Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Matematika II - 24 Pangkat St Matriks

Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat Pangkat Suatu Matriks Nilai yang menunjukkan ukuran (dimensi) suatu matriks yang determinannya tidak samadengan nol. Nilai pangkat didasarkan pada dimensi terbesar untuk determinan tidak samadengan nol. Bila pangkat tersebut diperoleh dari bebe- rapa anak-matriks, maka pangkat matriks ditentukan oleh determinan anak-matriks yang tidak samadengan nol. Matematika II - 24 Pangkat St Matriks

PANGKAT Matriks Mb Mbxl b = l b < l |Mb| ≠ 0 |Mb| = 0 |Mb| ≠ 0 Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat PANGKAT Matriks b = l b < l Mb Mbxl |Mb| ≠ 0 |Mb| = 0 |Mb| ≠ 0 |Mb| = 0 p(Mb) = b p(Mb) < b p(Mbxl) = b p(Mbxl) < b Matematika II - 24 Pangkat St Matriks

Cara pengolahan :  Perhatikan dimensi matriks.  Hitung determinannya. Penyelesaian : a. Algoritma b. Minor-kofaktor c. Penyapuan Bila diperoleh determinannya = 0, lanjutkan ke dimensi berikutnya atau ke dimensi yang lebih rendah (kecil). Tentukan pangkatnya. Nilai pangkat didasarkan pada dimensi tertinggi untuk determinan ≠ 0.

1. Tentukan pangkat kedua matriks segi berikut : CL P01 SL P01 1. Tentukan pangkat kedua matriks segi berikut : 1 2 -1 5 -1 -2 11 4 -5 A = 2 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 B = JCL P01-1 2. Tentukan pangkat kedua matriks tak segi berikut : 0 4 2 2 -5 -1 3 3 -8 -3 2 1 C = 5 4 1 2 2 1 1 5 4 3 1 3 D = JCL P01-2

Penyelesaian : (algoritma) Fakultas Kehutanan Universitas Lambung Mangkurat JCL P01-1 : 1 2 -1 5 -1 -2 11 4 -5 A = (3 x 3) Penyelesaian : (algoritma)  Hitung determinannya : | A | = {(1)(-1)(-5) + (2)(-2)(11) + (-1)(4)(5)} – {(-1)(-1)(11) + (2)(5)(-5) + (1)(4)(-2)} = –12  Tentukan pangkatnya : berpangkat penuh p(A) = 3 | A | = -12 ≠ 0 (sesuai dgn dimensi) (3 x 3) Matematika II - 24 Pangkat St Matriks

2 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 B = (3 x 3) Penyelesaian : (algoritma)  Hitung determinannya : | B | = {(2)(-1)(-1) + (-1)(1)(1) + (1)(1)(-1)} – {(1)(-1)(1) + (-1)(-1)(-1) + (2)(1)(1)} = 0

Periksa : 2 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 | B11 | = (2)(-1) – (-1)(-1) = –3  Tentukan pangkatnya : | B | = 0 ; | B11 | = -3 ≠ 0 p(B) = 2 (3 x 3) (2 x 2)

JCL P01-2 : 0 4 2 2 -5 -1 3 3 -8 -3 2 1 C = Langkah pertama; dengan mengubahnya menjadi 2 matriks segi berdimensi 3 x3 0 4 2 -5 -1 3 -8 -3 2 4 2 2 -1 3 3 -3 2 1 C1 = C2 =

Penyelesaian C1 : (algoritma)  Hitung determinannya : | C1 | = {(0)(-1)(2) + (4)(3)(-8) + (2)(-3)(-5)} – {(2)(-1)(-8) + (4)(-5)(2) + (0)(-3)(3)} = –42  Tentukan pangkatnya : | C1 | = -24 ≠ 0 ; p(C) = 3 (3 x 3)

5 4 1 2 2 1 1 5 4 3 1 3 D = Langkah pertama; dengan mengubahnya menjadi 2 submatriks segi berdimensi 3 x3 4 1 2 1 1 5 3 1 3 5 4 1 2 1 1 4 3 1 D1 = D2 =

Penyelesaian D1 : (algoritma)  Hitung determinannya : | D1 | = {(5)(1)(1) + (4)(1)(4) + (1)(3)(2)} – {(1)(1)(4) + (4)(2)(1) + (5)(3)(1)} = 0 | D2 | = {(4)(1)(3) + (1)(5)(3) + (2)(1)(1)} – {(2)(1)(3) + (1)(1)(3) + (4)(1)(5)} = 0 Langkah kedua; karena determinan keduanya = 0, maka periksa untuk dimensi 2 x 2 terhadap matriks D tsb.

5 4 1 2 2 1 1 5 4 3 1 3 Kemungkinan submatriks berdimensi 2 x 2 yang diperoleh sebanyak 6. Selanjutnya diperiksa satu-persatu 4 2 1 Det-nya = (5)(1) – (4)(2) = -3 Karena determinan D pada dimensi 2 x 2 = -3  0; berarti pangkat matriks D adalah 2. p(D) = 2