Analisa Numerik Integrasi Numerik

Review Ide Pemakaian Polinom Interpolasi Review ide pemakaian polinom interpolasi dlm. menaksir turunan dan integrasi : f(x) diketahui, tetapi sulit dioperasikan (turunkan, integrasi). f(x) tdk. diketahui, tetapi harga f(x) pd. titik x0, x1, ..., xk diketahui. Jk. L adalah operator pengganti turunan atau integrasi, mk. penaksiran harga turunan atau integrasi secara umum berbentuk : Proses penggantian L(f) dng. L(Pk) disebut diskritisasi, disebut kesalahan diskritisasi. 2

Review Ide Pemakaian Polinom Interpolasi Masalah ketelitian, sulit dicapai karena : Terbatasnya panjang word suatu komputer. Hilangnya digit signifikan pada saat dua nilai yang hampir sama dikurangi. Jd. ada h optimum, dimana utk. 3

a = x0 < x1 < x2 < ... <xn = b Aturan Dasar [a, b] dibagi-bagi menjadi N interval (tidak perlu sama). a = x0 < x1 < x2 < ... <xn = b Misal : Pi, k(x) (i = 1, ..., N) adalah polinom interpolasi utk. f(x) pd. interval (xi-1, xi). Catatan : Utk. kemudahan pembahasan, dimisalkan xi–xi-1 sama xi = a + ih, i = 0, ..., N, h = (b-a)/N Notasi fs = f(a + sh), mk. fi = f(xi), i = 0, ..., N

Aturan-Aturan Dasar di mana I(Pk) = A0f(x0) + A1f(x1) + ... + Akf(xk) [jumlah berbobot Ai] xi, f(xi) i = 0, ..., k diketahui : Ai dpt. dihitung dng. Ai = I(li), li = polinom Langrange ke-i. k = 0, x0 = a  Aturan Segi Empat f(x) 5

Aturan-Aturan Dasar k = 0, x0 = (a+b)/2  Aturan Titik Tengah k = 1, x0 = a, x1 = b  Aturan Trapesium k = 2, x0 = a, x1 = (a+b)/2, x2 = b  Aturan Simpson f(x) f(x) f(x) 6

Aturan-Aturan Dasar k = 3, x0 = x1 = a, x2 = x3 = b  Aturan Trapesium Terkoreksi f(x) 7

Aturan Gabungan (Composite Rules) Aturan segiempat 8

Aturan Gabungan (Composite Rules) Aturan Simpson f(x)

Aturan Gabungan (Composite Rules) Aturan Trapesium Dng. cara yg. sama diperoleh Aturan Titik Tengah f(x) f(x)

Aturan Gabungan (Composite Rules) Aturan Trapesium Terkoreksi f(x)

Contoh Dng. memakai aturan trapesium gabungan, tentukan N sehingga teliti sampai 6 digits Jwb. : Errornya adalah –f’’()N-2/12 ,  ∈ (a, b) Batas atas errornya adalah :  max |f’’(x)| pd. [0, 1] terjadi pada x = 0 atau x = 0, 1

Metoda Adaptif Quadrature Adaptif  lebar sub interval ditentukan oleh perilaku lokal integralnya (fungsinya). Besar interval keseluruhan tidak harus sama. Cocok utk. menghitung I(f) dlm. ketelitian tertentu dng. penghitungan fungsi lebih sedikit jika subinterval ditentukan dengan baik. Perhatikan aturan trapesium gabungan di mana a = x0 < x1 < ... < xN = b tidak perlu berjarak sama. Besar error tergantung Jd. jika f’’(x) ‘kecil’, maka pakai interval ‘besar’. jika f’’(x) ‘besar’, maka pakai interval ‘kecil’.

Adaptive Quadrature Berdasarkan Aturan Simpson Diberikan f(x) pada [a, b] dan bilangan kecil  > 0. Cari p (aproksimasi) terhadap di mana |P – I| ≤  dng. memakai penghitungan fungsi sesedikit mungkin. Misal : xi+1 – xi = h Dng. subinterval ini hitung Si pendekatan dari Ii Si = h/6 {f(xi) + 4f(xi + h/2) + f(xi+1)} xi xi + h/2 xi+1 h

Adaptive Quadrature Berdasarkan Aturan Simpson h xi xi + h/4 xi+1 xi + 3h/4 xi + h/2 Hitung pendekatan dari Ii Dng. memakai Error Simpson diperoleh :

Adaptive Quadrature Berdasarkan Aturan Simpson Jk. [a, b] ada N interval maka errornya memenuhi lalu :

Contoh Contoh Dengan memakai adaptive quadrature yg. berdasarkan aturan Simpson, cari aproksimasi (pendekatan) thd. integral : dng. ketelitian kesalahan  = 0.0005 (harga sebenarnya I = 2/3). Jawab : [0, 1]  [0, ½] dan [½, 1] pada [½, 1], h = ½ ok

Contoh pada [0, ½] [0, ½]  [0, ¼] dan [¼, ½]