MOMENT DAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN KELOMPOK 7 ARNIATI FERAWATI DESRA OKTAMIRA
Definisi Momen Definisi 1 : Momen ke r dari peubah acak x di sekitar 0 dinotasikan dengan µ’r dan didefenisikan sebagai berikut : dimana r = 0, 1, 2, …
Definisi 2 : Momen ke r dari peubah acak x di sekitar µ dinotasikan dengan : (r = 0, 1, 2, …)
CONTOH 1 Bila x menyatakan nilai mata dadu dari pelambungan dadu yang setimbang tentukanlah : a. 3 momen pertama b. 3 momen c. variansi x
CONTOH 2 Hitunglah rataan dan variansi peubah acak x yang mempunyai fungsi padat x
Fungsi Pembangkit Momen Definisi 3 : Fungsi pembangkit momen dari peubah acak X diperoleh dari E(etX) dan dinyatakan dengan MX(t). Sehingga
Fungsi Pembangkit – Momen hanya akan ada bila jumlah atau Integral pada definisi 3 konvergen. Bila fungsi pembangkit – momen suatu peubah acak memang ada, fungsi itu dapat dipakai untuk membangkitkan atau menemukan seluruh momen peubah acak tersebut. Yang caranya diuraikan dalam teorema 1
Teorema Pembangkit Momen Misalkan X suatu peubah acak dengan fungsi pembangkit momen MX(t). Maka
Contoh 1 : Cari fungsi pembangkit momen untuk variabel random binomial X dan gunakanlah untuk memverifikasi bahwa = np dan 2 = npq!
Contoh 2 : Tunjukkan bahwa fungsi pembangkit – momen peubah acak X yang berdistribusi normal dengan rataan µ dan bervariansi 2 adalah Mx(t) = eµt + 2 t2/2
Teorema-teorema 1. (Teorema ketunggalan) Misalkan X dan Y dua peubah acak masing-masing dengan fungsi pembangkit-momen MX(t) dan MY(t), Jika MX (t) = MY (t) untuk semua nilai t, maka X dan Y memiliki distribusi peluang yang sama. 2. MX+a(t) = eatMX(t) 3. MaX(t) = MX(at)
4. Jika X1, X2, …, Xn adalah peubah acak bebas dengan fungsi pembangkit momen, masing-masing dan Y = X1 + X2 + …+Xn maka MY(t) =