FAKTORISASI BILANGAN BULAT PRODI PEND FAKTORISASI BILANGAN BULAT PRODI PEND. MATEMATIKA UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA ARBELLA SRI MARLENY M 11144100155 LATIVAH WULANDARI 11144100038 LUDGERUS DAPPA 13144100074 KRISNA BANI PUTRI PUSPITA 14144100106 DIANA RAHMAWATI 14144100113

Bilangan PRIMA a dan b dikatakan saling prima apabila (a,b) = 1 Apabila ( 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , ... , 𝑎 𝑛 ) = 1, maka dikatakan bahwa 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , ... , 𝑎 𝑛 saling prima. Bilangan-bilangan bulat positif 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , ... , 𝑎 𝑛 , saling prima dua-dua (saling prima sepasang) jika ( 𝑎 𝑖 , 𝑎 𝑗 ) = 1 untuk i = 1,2,3,...,n dan j = 1,2,...,n dengan i ≠ j Contoh : (5, 8, 9) = 1 5,8,9 dikatakan saling prima dua dua sebab (5,8) = (5,9) = (8,9) = 1 (3, 4, 8, 9) = 1 3, 4, 8, 9 dikatakan saling prima tetapi bukan saling prima dua dua karena (3,9) = 3 dan (4,8) = 4

Definisi 1 Bilangan bulat positif yang lebih besar 1 dan tidak mempunyai faktor positif kecuali 1 dan bilangan itu sendiri disebut bilangan prima. Bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit (tersusun). 1 bukan bilangan prima dan bukan pula bilangan komposit. 1 disebut unit

Contoh : Ambil bilangan bulat 210, maka 210 dapat diuraikan atas faktor-faktor prima, yaitu : 210 = 2.3.5.7 210 = 3.7.5.2 210 = 3.5.2.7 Teorema 1 : Setiap bilangan bulat positif dan yang lebih besar dari 1 dapat dibagi oleh suatu bilangan prima.

Suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima. Mungkin diantara faktor-faktor tersebut ada yang sama, maka faktor-faktor yang sama dapat ditulis sebagai bilangan berpangkat. Contoh : 5544 = 2.2.2.3.3.7.11 = 2 3 . 3 2 .11.7 Teorema 2 : Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah suatu bilangan prima atau bilangan itu dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima.

SECARA UMUM : Jika n > 1 dan n bilangan bulat, maka dapat ditulis dengan : 𝑛= 𝑝 1 𝑎 1 , 𝑝 2 𝑎 2 ,𝑝 3 𝑎 3 ,…, 𝑝 𝑘 𝑎 𝑘 dengan 𝑝 1 , 𝑝 2 , 𝑝 3 ,...., 𝑝 𝑘 adalah faktor-faktor prima dari n dan 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ,...., 𝑎 𝑘 adalah eksponen-eksponen bilangan bulat tidak negatif 𝑛= 𝑝 1 𝑎 1 , 𝑝 2 𝑎 2 ,𝑝 3 𝑎 3 ,…, 𝑝 𝑘 𝑎 𝑘 disebut dengan representasi n sebagai perkalian bilangan-bilangan prima atau juga sering disebut bentuk kanonik dari n. Dengan menggunakan bentuk kanonik di atas, dapat ditentukan FPB dan KPK dari bilangan-bilangan tersebut. Misalkan m, n, dan d adalah bilangan- bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1, yang memiliki bentuk kanonik sebagai berikut : 𝑚= 𝑝 1 𝑎 1 , 𝑝 2 𝑎 2 ,𝑝 3 𝑎 3 ,…, 𝑝 𝑘 𝑎 𝑘 𝑛= 𝑝 1 𝑏 1 , 𝑝 2 𝑏 2 ,𝑝 3 𝑏 3 ,…, 𝑝 𝑘 𝑏 𝑘 𝑑= 𝑝 1 𝑐 1 , 𝑝 2 𝑐 2 ,𝑝 3 𝑐 3 ,…, 𝑝 𝑘 𝑐 𝑘 Maka FPB dari m, n, dan d adalah : (m,n,d) = 𝑝 1 min⁡( 𝑎 1 , 𝑏 1 , 𝑐 1 ) . 𝑝 2 min ( 𝑎 2 , 𝑏 2 , 𝑐 2 ) . … 𝑝 3 min⁡( 𝑎 𝑘 , 𝑏 𝑘 , 𝑐 𝑘 ) KPK dari m, n, dan d adalah : [m, n, d] = 𝑝 1 m𝑎𝑘𝑠⁡( 𝑎 1 , 𝑏 1 , 𝑐 1 ) . 𝑝 2 m𝑎𝑘𝑠 ( 𝑎 2 , 𝑏 2 , 𝑐 2 ) . … 𝑝 3 m𝑎𝑘𝑠⁡( 𝑎 𝑘 , 𝑏 𝑘 , 𝑐 𝑘 )

Contoh : Tentukan FPB dan KPK dari 198, 216, dan 252 Penyelesaian : 198 = 2 x 32 x 11 = 21 x 32 x 70 x 111 216 = 23 x 33 = 23 x 33 x 70 x 110 252 = 22 x 32 x 7 = 22 x 33 x 71 x 110 Maka (198,216,252) = 2min(1,3,2).3min(2,3,3).7min(0,0,1).11min(1,0,0) = 21.32.70.110 = 2.9.1.1 = 18 [198,216,252] = 2maks(1,3,2).3maks(2,3,3).7maks(0,0,1).11maks(1,0,0) = 23.33.71.111 = 8.27.7.11 = 16632

Teorema 3: Jika n suatu bilangan komposit, maka n memiliki faktor k dengan 1<𝑘≤ 𝑛 Teorema 4 : Jika n suatu bilangan komposit, maka n memiliki suatu faktor prima yang lebih kecil atau sama dengan 𝑛 .

Contoh Apakah 907 adalah bilangan prima Contoh Apakah 907 adalah bilangan prima? Penyelesaian : Coba dibagi 907 dengan bilangan-bilangan prima yang kurang dari 907 907 =30,116 Maka bilangan primanya adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 , dan 29. karena tidak ada satupun dari bilangan prima tersebut yang membagi 907, maka 907 adalah bilangan prima.

FAKTORISASI TUNGGAL Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif atas faktor-faktor prima adalah tunggal sehingga dikenal sebagai faktorisasi tunggal. Berikut ini akan diberikan beberapa teorema yang harus diketahui sebagai persiapan untuk mempelajari faktorisasi tunggal Teorema di atas diperluas sehingga menjadi : Teorema 5: Jika p suatu bilangan prima dan p│ab maka p│a dan p│b Teorema 6: Jika suatu bilangan prima dan p│a1, a2, a3, ... , an maka p│ai untuk suatu i = 1, 2, 3, ... , n

Perluasan lain dari teorema tersebut adalah : Selanjutnya akan dibuktikan ketunggalan dari faktorisasi prima dari suatu bilangan bulat positif. Teorema ini disebut faktorisasi tunggal yang merupakan teorema dasar dalam aritmatika. Teorema 7: Jika p, q1, q2, q3, ... , qn semuanya bilangan prima dan p│ q1, q2, q3, ... , qn maka p = qk untuk suatu k dengan 1 ≤𝑘≥𝑛 Teorema 8: Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 atau faktor-faktor prima adalah tunggal, kecuali urutan dari faktor-faktornya.

Teorema 9: Banyaknya bilangan prima adalah tak berhingga Teorema 10: Dalam suatu barisan bilangan prima, jika pn menyatakan bilangan prima ke-n maka pn ≤ 22n-1