Metode Numerik Prodi Teknik Sipil Masalah Harga Awal Persamaan Differensial Biasa Satu Dimensi (bagian 2) Metode Numerik Prodi Teknik Sipil

Metode Finite Difference (Beda Hingga) Diskritasi daerah fisik kontinu ke dalam sebuah grid beda hingga diskrit Mendekati turunan eksak di dalam PDB masalah harga awal dengan aproksimasi beda hingga (ABH) aljabar Substitusikan ABH ke dalam PDB untuk mendapatkan persamaan beda hingga (PBH) aljabar Selesaikan PBH aljabar yang dihasilkan

Grid Beda Hingga D(t) [atau D(x)] Penyelesaian beda hingga dari PDB didapatkan pada titik-titik grid ini. Subscript n digunakan untuk menyatakan (grid points) titik-titik grid fisik, yaitu tn (atau xn) Titik grid n bersesuaian dengan lokasi tn (atau xn) di dalam daerah penyelesaian D(t) [atau D(x)] Jumlah total titik grid dinyatakan oleh nmax Fungsi y(t) pada titik grid n dinyatakan oleh Hal yang sama juga digunakan untuk menyatakan turunan sebagai berikut

Simbol untuk solusi eksak dan solusi pendekatan

Pendekatan beda maju orde satu Deret taylor untuk menggunakan titik grid n sebagai titik basis adalah kesalahan pemotongan pada deret taylor Penyelesaian untuk menghasilkan Jika dihentikan setelah suku pertama di ruas kiri akan didapatkan pendekatan beda maju orde satu dari pada n menyatakan orde dari pendekatan

Pendekatan beda mundur orde satu Pendekatan beda mundur orde satu untuk pada titik grid n+1 didapatkan dg menuliskan deret Taylor untuk menggunakan titik grid n+1 sebagai basis kemudian diselesaikan untuk sehingga

Pendekatan beda tengah orde dua Pendekatan beda tengah orde dua untuk pada titik grid n+1/2 didapatkan dg menuliskan deret Taylor untuk dan menggunakan titik grid n+1/2 sebagai basis pengurangan kedua persamaan menghasilkan

Persamaan Beda Hingga Solusi beda hingga dari persamaan differensial didapatkan dengan diskritasi daerah solusi kontinu dan menggantikan turunan eksak dalam persamaan differensial dengan aproksimasi beda hingga (ABH) untuk mendapatkan persamaan beda hingga (PBH)

Contoh Masalah harga awal Menggunakan pendekatan beda maju orde satu PBH eksplisit krn fn tergantung kepada yn+1 Menggunakan pendekatan beda mundur orde satu PBH implisit krn fn+1 tergantung kepada yn+1

Soal Berikut adalah persamaan differensial dan solusi eksaknya. Selesaikan persamaan differensial dengan mendekati turunan eksak dengan beda maju orde satu untuk titik grid 1, dan titik grid 2. Bandingkan dengan solusi eksaknya. t = 0,5 Soal 1 Soal 2

Aproksimasi Beda Hingga (ABH) Aproksimasi beda hingga terhadap turunan eksak dalam PDB diselesaikan dengan pendekatan deret taylor