DESKRIPSI DATA NUMERIK A. UKURAN TENDENSI SENTRAL rata-2 terhitung TENDENSI SENTRAL MEAN ARITMETIK MEAN GEOMETRIK MEAN HARMONIK MODUS MEDIAN rata-2 lokasi

A. MEAN ARITMETIK Metode mencari rata2 ini dgn mengambil jml harga2 variabel & kemudian dibagi dgn byknya harga2 tsb  dinyatakan dgn Formulasinya: n adl byknya pengamatan; variabel mengambil harga x1, x2, .., xn  berupa data mentah/raw data Misal hendak menghitung mean aritmetik dari data berikut: x1,x1,x1,x2,x2,x3,x3,x3,x3,x4,x4,x4,x4,x4,x4 Mean aritmetik diberikan sbb: Sehingga =

Mean dr distribusi frekuensi tsb adl: Data2 tsb (x1,x1,x1,x2,x2,x3,x3,x3,x3,x4,x4,x4,x4,x4,x4), dapat dinyatakan dlm bentuk distribusi frekuensi: Harga variabel Frekuensi x1 x2 x3 x4 3 2 4 6 Total 15 Mean dr distribusi frekuensi tsb adl: Data di atas tdk terkelompok, shgg mean aritmetik diperoleh dg melihat total dibagi dgn byk pengamatan. Bgm dg data yg terkelompok…??? if… xi memiliki frekuensi fi, maka mean aritmetiknya sbb:

fi = jml persh yg dpt profit xi Ex 1: Dlm survey 60 industri kimia, diperoleh data sbb: xi = profit (rp. 000) fi = jml persh yg dpt profit xi xifi 10 15 20 25 30 5 12 8 50 150 500 300 240 N = ∑fi = 60 ∑fixi =1240 Mean aritmetik profit adl: Bgm kl data dibuat dlm bentuk interval..?? Ada 3 asumsi utk menghitung rata2 frekuensi dg interval kelas Kelas2 hrs tertutup Harga pd setiap kls terdistribusi seragam utk stp interval Titik tengah dr kls hrs menunjukkan rata2 kls

Harga tengah interval kls (xi) = x1 x2 x3 …… xn Contoh: Harga tengah interval kls (xi) = x1 x2 x3 …… xn frekuensi (fi) = f1 f2 f3 ….. Fn Mean aritetik utk data terkelompok dlm interval adl: Ex 2: brkt data frekuensi wkt layanan pemesanan dr sbh stasiun kereta api kpd 25 pelanggan. Brp mnt rata2 tunggu? Interval kls Nilai tengah (xi) fi xifi 2,1 – 2,6 2,7 – 3,2 3,3 – 3,8 3,9 – 4,4 4,5 – 5,0 5,1 – 5,6 2,35 2,95 3,55 4,15 4,75 5,35 2 6 7 5 3 4,70 17,70 24,85 20,75 14,25 10,70 Jumlah kelas k = 1 + 3,322 log n di mana 2k>n; di mana k= jumlah kelas; n = jumlah data Mean aritmetik:

Data terkelompok/interval: Ex 3: data penjualan (dlm ribu Rp) sebuah pershaan teknik slm 20 th adl sbb: 14, 8, 23, 31, 26, 5, 11, 27, 46, 32, 28, 12, 12, 26, 8, 9, 16, 42, 30, 7, 22 Hitung mean aritmetik utk data mentah tsb tnp dikelompokkan? Brp mean aritmetik utk data terkelompoknya? Data tdk terkelompok: Data terkelompok/interval: Interval kls Nilai tengah (xi) fi xifi 1 – 10 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 - 50 5,5 15,5 25,5 35,5 45,5 5 4 6 3 2 27,5 62,0 153,0 106,5 91,0 ∑fi = 20 ∑xifi = 440,0 Mean aritmetik:  taksiran thd mean

Rata-Rata Diboboti Ex 4. seseorang menginvestasikan 3 mcm saham X, Y, Z, masing2 Rp 20.000; Rp 30.000; Rp 12.000. Pd akhir thn dividen yg ditrm Rp 1.200; Rp 1.200; Rp 840 Org tsb tertarik utk mengetahui pengembalian rata2 yg diperoleh. Hal ini dpt dilakukan sbb: Saham Investasi Dividen Return = X Y Z 20.000 30.000 12.000 1.200 840 X1 = 6% X2 = 4% X3 = 7% Mean aritmetik = Perhtgan ini menganggp semua saham diberi bobot yg sama, pdhal sbnrnya tdk demikian. Saham Y yg diberi bobot 4% ternyt tlh diambil olh dana investor yakni Rp 30.000. Bila hal ini diabaikan, maka perhtgan mean aritetik menjd keliru. Oleh krn itu perlu dikoreksi (dikenal dg mean aritmetik yg diboboti)

Cara koreksi sbb: Dg cara di atas, dpt ditulis formula mean aritmetik yg diboboti. Misal wi menytkan bobot var xi (pengaruh var xi scr rata2), maka: Jika wi = 1 utk semua i, diperoleh: Jika data memiliki nilai ekstrem, pembobotan yg sama ini akan mengandung kesalahan, karena akan mengganggu rata2. Oleh krn itu rumusan akan sdkt berbeda.

Penjualan slm setahun (Rp) Mean aritmetik yg diboboti utk data yg ekstrem: Ex 5. berikut data ekstrem kontribusi rata-rata (hrg jual – biaya) penjualan produk 6 produk. Brp rata2 kontribusi sebenarnya? Produk Kontribusi/unit (Rp) Penjualan slm setahun (Rp) P1 P2 P3 P4 P5 P6 10 20 5 30 35 50.000 (0,25) 40.000 (0,20) 20.000 (0,10) 10.000 (0,05) 30.000 (0,15) 200.000 Ket: angka dlm kurung adl proporsi penjualan thd total penjualan

Jika manajer mengabaikan penjualan msg2 produk, sert memberikan bobot yg sama utk stp poduk, mean aritmetik adl: Jd rata2 kontribusi adl 16,66. Ttp, mgk jd pengamatan bhw P4 memiliki kontribusi kecil (rp 5), ttp penjualannya tinggi. Sebaliknya, P5 kontribusinya tertinggi (Rp 25), ttp penjualannya rendah. Dg cr ini, pembobotan yg sama tdk dpt dibenarkan. Olh krn itu prl dilihat proporsi utk pembobotan sbb: B. MEAN GEOMETRIK Didefinisikan sbg akar ke-n dr hsl kali bilangan2 yg dirata2kan. Formulasinya: atau

Ex 6. cari mean geometrik dari: 2, 4, 8 Ex 7. cari mean geometrik distribusi brkt! Kelas Nilai tengah (xi) fi Log10xi fi.Log10xi 0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 5 15 25 35 8 3 4 0,6990 1,1761 1,3979 1,5441 3,4950 9,4088 4,1937 6,1764 Total 20 23,2739 Ex 8. cari laju rata2 kenaikan hrg th 1 yg bertambah 20%, th brkt 25%, & th 3 sebesar 44%?

C. MEAN HARMONIK Sbg catatan: Mean Geometrik tdk dpt dihitung bila slh satu nilai negatif. Selanjutnya, bila slh stu nilainya nol, maka G = 0. Mean Geometrik lbh baik dr Aritmetik, kl data dinyatakan olh perbandingan/menunjukkan laju perubahan C. MEAN HARMONIK Didefinisikan sbg inverse dari rata2 kebalikannya. Formulasinya: Jika x1, x2, .., xn tdk satupun bernilai nol & memiliki frekuensi f1, f2, .., fn, mk mean harmonik adl:

Ex 9. hitung mean harmonik dari: 4, 8, 16 ? Ex 10. cari mean harmonik distribusi brkt! Kelas Nilai tengah (xi) fi 1/xi fi.(1/xi) 2 – 4 4 – 6 6 – 8 8 - 10 3 5 7 9 20 40 30 10 0,3333 0,2000 0,1428 0,1111 6,666 8,000 4,284 1,111 100 20,061

D. MEDIAN Didefinisikan sbg nilai tengah yg merupakan hrg perubahan (variat), di mana terdpt frekuensi yg sama antara hrg yg lbh besar/lbh kecil Formulasi: Utk frek ganjil, item ke-n adl median. Jika frek genap, katakan 2n, maka item ke-n & (n + 1) adl item sentral Ex 11. hitung median dr waktu pelayanan: 2; 10; 4; 8; 7; 3; 5 Urutkan dr kecil ke besar: 2; 3; 4; 5; 7; 8; 10 Med = ; artinya med menempati posisi ke-4 dari Baris data, yaitu 5

Ex 12. hitung median dr data brkt: 4; 2; 8; 9; 11; 7; 6; 5 Urutkan dr kecil ke besar: 2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 11 Med = Ex 13: cari median dr distribusi brkt: Keuntungan kotor Jml perusahaan Frek. Kumulatif 0 - 10 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 22 38 46 35 20 60 106 141 161 l = bts terendah kls median; f = frek kls median; F = frek kumulatif; h = lebar kelas

E. MODUS Berdsr data: N = 161; median adl ukuran besar dr item Med = ; item ke-81 terletak antara kelompok 20 – 30 Jd 20 – 30 adl kls median, dg bts terendah 20 Jd l = 20; N = 161; F = 60; f = 46; h = 10 E. MODUS Didefinisikan sbg nilai yg paling sering muncul l = bts terendah kls modus (memiliki fre max); f1, f2 = frek kls sblmnya & modus kls brktnya; h = lebar kelas

Ex 14. hitung modus dr data brkt: 4; 2; 8; 9; 11; 7; 6; 5 Urutkan dr kecil ke besar: 2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 11 Keuntungan kotor Jml perusahaan 0 – 7 7 – 14 14 – 21 21 - 28 28 – 35 35 – 42 42 – 49 19 25 36 72 51 43 38 Frek terbsr adl 72 terletak pd kls 21 – 28. dg dmkian modus kls adl 21 – 28 & bts terendah kls 21. Jd l = 21, f1 = 36, f2 = 51 & h = 7

HUBUNGAN RATA-RATA-MEDIAN-MODUS = Md= Mo 2. Mo < Md <  3.  < Md < Mo

UKURAN PENYEBARAN Penggunaan ukuran penyebaran Suatu ukuran baik parameter atau statistik untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata-rata hitungnya. Ukuran penyebaran membantu mengetahui sejauh mana suatu nilai menyebar dari nilai tengahnya, semakin kecil semakin besar. Penggunaan ukuran penyebaran Rata-rata bunga bank 11,43% per tahun, namun kisaran bunga antar bank dari 7,5% - 12,75% Rata-rata inflasi Indonesia 1995-2001 sebesar 18,2% dengan kisaran antara 6% - 78% Harga rata-rata saham Rp 470 per lembar, namun kisaran saham sangat besar dari Rp 50 - Rp 62.500 per lembar

BEBERAPA BENTUK UKURAN PENYEBARAN 1. Rata-rata sama, penyebaran berbeda

2. Rata-rata berbeda dengan penyebaran berbeda 3. Rata-rata berbeda dengan penyebaran sama

UKURAN PENYEBARAN DATA TIDAK BERKELOMPOK A. RANGE Definisi: Nilai terbesar dikurang nilai terkecil. Contoh: Indonesia Nilai Negara Maju Negara Industri Baru Negara Asean Tertinggi 3,2 7,6 7,1 8,2 Terendah 2,0 -1,5 -9,4 -13,7 Range/Jarak Keterangan

B. DEVIASI RATA-RATA Definisi:   Tahun X X – X  Nilai Mutlak 1994 7,5 4,2 1995 8,2 4,9 1996 7,8 4,5 1997 4,9 1,6 1998 -13,7 -17,0 1999 4,8 1,5 2000 3,5 0,2 2001 3,2 -0,1 Rata-rata Jumlah 1,5 17,0 1,6 4,5 4,2 0,2 0,5 B. DEVIASI RATA-RATA Definisi: Rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnya. Rumus: MD = (|X – X|)/n

C. VARIANS Definisi: Rata-rata hitung dari deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya. Rumus: 2 = (X – )2/n Tahun X X –  (X – )2 1994 7,5 4,2 17,64 1995 8,2 4,9 24,01 1996 7,8 4,5 20,25 1997 1,6 2,56 1998 -13,7 -17,0 289,00 1999 4,8 1,5 2,25 2000 3,5 0,2 0,04 2001 3,2 -0,1 0,01 Jumlah Rata-rata

D. STANDAR DEVIASI Definisi: Akar kuadrat dari varians dan menunjukkan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya. Rumus:  =   ( X - )2 N Contoh: Jika varians = 44,47, maka standar deviasinya adalah:

UKURAN PENYEBARAN DATA BERKELOMPOK A. RANGE Definisi Range: Selisih antara batas atas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah. Contoh: Range = ? Kelas ke- Interval Jumlah Frekuensi (F) 1 160 - 303 2 304 - 447 5 3 448 - 591 9 4 592 - 735 736 - 878

DEVIASI RATA-RATA RUMUS MD =  f |X – X| N Interval Titik Tengah (X) f   Interval Titik Tengah (X) f f.X X – X f X – X  160-303 231,5 2 463,0 -259,2 518,4 304-447 375,5 5 1.877,5 -115,2 576,0 448-591 519,5 9 4.675,5 28,8 259,2 592-735 663,5 3 1.990,0 172,8 736-878 807,0 1 316,3 RUMUS MD =  f |X – X| N

VARIANS DAN STANDAR DEVIASI DATA BERKELOMPOK Rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya RUMUS: 2 =  ( X - )2 N Standar Deviasi Akar kuadrat dari varians dan menunjukkan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya. RUMUS:  =   ( X - )2 N

Varians : S2 =  (X – )2 n-1 Standar Deviasi: CONTOH Varians : S2 =  (X – )2 n-1 Standar Deviasi:  S =   (X –  )2 =  S2   8,2 2,9 8,41 4,9 -0,4 0,16 4,8 -0,5 0,25 3,2 -2,1 4,41 X (X – ) (X – )2