UNIVERSITAS TRUNOJOYO MATRIK & DETERMINAN II Transpose Matrik Kebebasan & Ketidak BebasanLinier Invesi Matrik Penyelesaian Persamaan Linier dgn TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS TRUNOJOYO FIKA HASTRITA R, ST AHMAD SAHRU R, S.Kom

Transpose Matrik Transpose AT dari matrik m x n A = [ aik ] adalah matrik n x m yang diperoleh dari pertukaran baris dan kolom [AT] ik = [aik] [AT] ik = [aik] = a11 a12 .... a1n a22 a22 .... a2n : : am1 am2 ....amn Contoh : A = -4 6 3 0 1 2 , maka AT = -4 0 6 1 3 2

Matrik Simetrik adalah matrik square A dimana akj = ajk untuk seluruh j dan k. atau dengan kata lain : AT = A 5 3 2 A = 3 4 -3 2 -3 1 Adalah matrik simetrik 3 x 3

R = ½ (A + AT ) dan S = ½ (A – AT) Matrik Skew-Simetrik adalah matrik square A dimana akj = - ajk untuk seluruh j dan k. atau dengan kata lain : AT = - A 5 -3 2 A = 3 4 5 -2 -5 1 Adalah matrik skew-simetrik 3 x 3 Matrik A dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari matrik simetrik R dan matrik skew-simetrik S , dimana R = ½ (A + AT ) dan S = ½ (A – AT)

Contoh: A = 2 3 5 -1 Matrik berikut bukanlah matrik simetrik ataupun skew-simetrik. maka A dapat dituliskan dalam bentuk A = R + S R = ½ (A + AT) = 2 4 4 -1 dan 0 -1 1 0 S = ½ (A - AT) =

Sifat – sifat Transpose Matriks ( AT )T = A ( A + B )T = AT + BT ( A – B )T = AT - BT ( AB )T = BT AT

Kebebasan & Ketidak Bebasan Linier Misalkan terdapat vektor sejumlah m (dengan jumlah masing-masingkomponen sama), kombinasi linier vektor –vektor ini adalah dalam bentuk: c1 v1 + c2 v2 +..........+ cm vm dengan c1, c2, ..........cm dalam bentuk skalar

Untuk bentuk persamaan c1 v1 + c2 v2 +..........+ cm vm = 0 (6) Vektor v1, v2, ..........vm dikatakan memiliki kebebasan linier jika semua nilai dari c1,c2,.....cm adalah nol yaitu: c1 v1 + c2 v2 +..........+ cm vm = 0  c1 = c2 =..........= cm = 0 Jika dalam persamaan (6), tidak semua nilai c1,c2,.....cm adalah nol, maka vektor v1,v2.......vm dikatakan memiliki ketidak bebasan linier, yaitu (setidaknya) satu dari vektor tersebut dianggap sebagai kombinasi linier dari yang lainnya.

Sebagai contoh, jika dalam persamaan (6), katakanlan c1 tdk sama dgn 0, maka persamaan (6) dapat diselesaikan dengan v1 = k2 v2 +..........+ km vm dengan ki = - ci / c1

Contoh: Tiga buah vektor Dikatakan memliki ketidak bebasan linier karena 6 v1 – 1/2 v2 – v3 = 0 Namun, perlu dicatat bahwa v1 dan v2 memiliki kebebasan linier karena c1 v1 + c2 v2 = 0 Menyatakan bahwa c2 = 0 (dari yang kedua) Dan kemudian c1 = 0 (dari komponen yang lain) v1 = , 3 2 v2 = , dan -6 42 24 54 v3 = 21 -21 -15

INVERSI MATRIKS Syarat : Matriks square Inversi matriks n x n A = [aik] didenotasikan sebagai A-1 dan juga merupakan matriks n x n, sehingga ; A A-1 = A-1A = I -) Jika A memiliki invers (invertible), maka A disebut sebagai matriks nonsingular. -) Jika A tidak memiliki invers, maka A disebut sebagai matriks singular.

Metode reduksi baris juga dapat digunakan untuk menentukan inversi dari suatu matriks terutama dengan menggunakan pendekatan Gauss-Jordan. Yang harus dilakukan adalah menjadikan dalam bentuk matriks [ A : I ] kemudian dilakukan operasi baris sehingga menjadi bentuk [ I : A-1 ]. Contoh : Hitunglah invers dari : A = 1 1 3 2 1 1 1 3 5

Bentuk augmented matriks : 1 1 3 : 1 0 0 2 1 1 : 0 1 0 1 3 5 : 0 0 1 ( A : I ) = Rangkaian opersi ini mengenolkan elemen2 yang ada di kolom 1, baris 2 dan 3. 1 1 3 : 1 0 0 0 -1 -5 : -2 1 0 0 2 2 : -1 0 1 R2  R2 – 2R1; R3  R3 – R1;

Opersi ini menge-nol-kan kolom 2 baris 3. 1 1 3 : 1 0 0 0 -1 -5 : -2 1 0 0 0 -8 : -5 2 1 R3  R3 + 2R2; Selanjutnya adalah menge-nol-kan kolom-kolom diatas diagonal. Yaitu kolom 3 baris 1 dan 2 1 1 0 : -7/8 3/4 3/8 0 -1 0 : 9/8 -1/4 -5/8 0 0 -8 : -5 2 1 R2  R2 – 5/8 R3; R1  R1 + 3/8 R3;

Opersi ini menge-nol-kan kolom 2 baris 1. 1 0 0 : 1/4 1/2 -1/4 0 -1 0 : 9/8 -1/4 -5/8 0 0 -8 : -5 2 1 R1  R1 + R2; Menjadikan 1 baris 2 kolom 2 dan baris 3 kolom 3 1 0 0 : 1/4 1/2 -1/4 0 1 0 : -9/8 1/4 5/8 0 0 1 : 5/8 -1/4 -1/8 R2  - R2; R3  - 1/8R3

-9/8 1/4 5/8 1/4 1/2 -1/4 A-1 = 5/8 -1/4 -1/8 Buktikan bahwa : 1/4 1/2 -1/4 -9/8 1/4 5/8 5/8 -1/4 -1/8 A-1 = Buktikan bahwa : A A-1 = I ????

Persamaan Sistem Linier dengan Inversi Matriks Jika A adalah matrik n x n yang invertible, maka untuk setiap matriks bn x1 , sistem persamaan Ax = b mempunyai satu solusi, yaitu x = A -1 b. Contoh : x1 + x2 + 3 x3 = 8 2 x1 + x2 + x3 = 16 x1 + 3 x2 + 5 x3 = 24

A = x = b = 1 1 3 2 1 1 1 3 5 8 16 24 x1 x2 x3 Dari contoh sebelumnya, 1/4 1/2 -1/4 -9/8 1/4 5/8 5/8 -1/4 -1/8 A-1 =

Maka, x = A-1 b = 8 16 24 4 10 -2 1/4 1/2 -1/4 -9/8 1/4 5/8 5/8 -1/4 -1/8 = Jadi : x1 = 4 x2 = 10 x3 = -2

Sifat – sifat Inversi Matriks (a) A A-1 = I dan A-1 A = I (b) (AB) -1 = B-1 A-1 (c) Jika A = , maka A-1 = 1/det dimana det A = a11 a22 – a12 a21 (d) (AT)-1 = (A-1)T (e) (A-1)T AT =(A A-1)T = IT = I a11 a12 a22 a22 a22 -a12 -a22 a11

Jika A adalah matriks square dan invertible, maka  An = AA.....A  A-n = Ar+s (Ar)s = Ars r,s = integer  (A-1)-1 = A dan (An)-1 = (A-1)n  (kA)-1 = 1/k A-1

TUGAS Buktikan SIfat – Sifat Inversi Matriks diatas!!!

Daftar Pustaka Advanced Engineering Mathematic, chapter 8 Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Noor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar Linear