ALJABAR KALKULUS

LIMIT FUNGSI Limit menjelaskan seberapa jauh sebuah fungsi berkembang apabila variabel fungsi yang bersangkutan berkembang terus-menerus menuju suatu nilai tertentu “limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L” Jika variabel x berkembang terus-menerus hingga mendekati bilangan a, maka nilai fungsi f(x) berkembang pula mendekati bilangan L.

x f(x) 0.9 1.9 0.91 1.91 0.92 1.92 0.93 1.93 0.94 1.94 0.95 1.95 0.96 1.96 0.97 1.97 0.98 1.98 0.99 1.99 1   1.01 2.01 1.02 2.02 1.03 2.03 1.04 2.04 1.05 2.05 1.06 2.06 1.07 2.07 1.08 2.08 1.09 2.09 Limit fungsi mendekati 2 bila x mendekati 1, tetapi pada x = 1, maka fungsi tidak terdefinisi

LIMIT SISI KIRI Limit sisi kiri dari suatu fungsi adalah nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang membesar (x  a dari sisi kiri, melalui nilai-nilai x < a)

LIMIT SISI KIRI x f(x) 0.500 -4.87500 0.525 -4.90530 0.550 -4.93363 0.575 -4.95989 0.600 -4.98400 0.625 -5.00586 0.650 -5.02538 0.675 -5.04245 0.700 -5.05700 0.725 -5.06892 0.750 -5.07813 0.775 -5.08452 0.800 -5.08800 0.825 -5.08848 0.850 -5.08588 0.875 -5.08008 0.900 -5.07100 0.925 -5.05855 0.950 -5.04263 0.975 -5.02314 1.000 -5.00000

LIMIT SISI KANAN Limit sisi kanan dari suatu fungsi adalah nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang mengecil (x -> a dari sisi kanan, melalui nilai-nilai x > a)

LIMIT SISI KANAN x f(x) 1.500 -3.62500 1.475 -3.74095 1.450 -3.85138 1.425 -3.95636 1.400 -4.05600 1.375 -4.15039 1.350 -4.23963 1.325 -4.32380 1.300 -4.40300 1.275 -4.47733 1.250 -4.54688 1.225 -4.61173 1.200 -4.67200 1.175 -4.72777 1.150 -4.77913 1.125 -4.82617 1.100 -4.86900 1.075 -4.90770 1.050 -4.94238 1.025 -4.97311 1.000 -5.00000

LIMIT FUNGSI Limit suatu fungsi dikatakan ada, jika dan hanya jika limit sisi-kiri dan sisi-kanannya ada serta sama. Apabila salah satu dari ketentuan-ketentuan di atas tidak terpenuhi, maka limit fungsi yang bersangkutan tidak terdefinisi.

Bila x mendekati nol dari kiri, maka f(x) menjadi positif tak hingga. Bila x mendekati nol dari kanan, maka f(x) menjadi negatif tak hingga. f(x) = -3/x

KAIDAH-KAIDAH LIMIT Jika y = f(x) = xn dan n > 0, maka Contoh Limit suatu konstanta adalah konstanta itu sendiri.

KAIDAH-KAIDAH LIMIT Limit dari suatu penjumlahan (atau pengurangan) fungsi adalah jumlah (atau selisih) dari limit fungsi-fungsinya. lim { f(x)  g(x) } = lim f(x)  lim g(x) x  a x  a x  a Contoh : lim { (1 – 2 x2) + (x3) } = lim (1 – 2 x2) + lim (x3) x  a x  a x  a = ( 1 – 2 . 22) + 23 = -7 + 8 = 1

KAIDAH-KAIDAH LIMIT Limit dari suatu perkalian fungsi adalah perkalian dari limit fungsi-fungsinya. lim { f(x) . g(x) } = lim f(x) . lim g(x) x  a x  a x  a Contoh lim { (1 – 2 x2) (x3) } = lim (1 – 2 x2) . lim (x3) x  2 x  2 x  2 = ( 1 – 2 . 22) , 23 = -7 . 8 = -56

KAIDAH-KAIDAH LIMIT Limit dari suatu pembagian fungsi adalah pembagian dari limit fungsi-fungsinya, dengan syarat fungsi pembagi tidak sama dengan nol. lim { f(x) / g(x) } = lim f(x) / lim g(x) x  a x  a x  a Contoh lim { (x2 - 25) / (x - 5) } = lim (x2 - 25) / lim (x - 5) x  5 x  5 x  5 = lim (x - 5)(x + 5)/ lim (x - 5) = lim (x + 5) = 10 x  5 x  5 x  5

KAIDAH-KAIDAH LIMIT Limit dari suatu fungsi berpangkat n adalah pangkat n dari limit fungsinya. lim { f(x) }n = { lim f(x) }n x  a x  a Contoh : lim ( 1 – 2 x2 )3 = { lim ( 1 – 2 x2 ) }3 = (-7)3 = -343 x  2 x  2

KAIDAH-KAIDAH LIMIT Limit dari fungsi terakar positif adalah akar dari limit fungsinya. contoh

PENYELESAIAN KASUS KHUSUS Bentuk Tak Tentu 0 / 0 lim { (x2 - 25) / (x - 5) } = lim (x2 - 25) / lim (x - 5) x  5 x  5 x  5 = lim (x - 5)(x + 5) / lim (x - 5) = lim (x + 5) = 10 x  5 x  5 x  5 lim { ((x - 3)2 - 9)/x } = lim {(x2 – 6x + 9 - 9) / x} x  0 x  0 = lim {(x2 – 6x + 9 - 9) / x} = lim (x – 6) = -6 x  0 x  0

PENYELESAIAN KASUS KHUSUS Bentuk Tak Tentu  /  (dibagi dengan pangkat tertinggi)

KESINAMBUNGAN (KONTINUITAS) Secara visual, sebuah fungsi dikatakan sinambung (kontinu) apabila gambarnya berupa kurva yang tidak terputus Atau, f(x) dikatakan kontinu pada x = a jika (1) f(a) terdefinisi (2) lim f(x) terdefinisi x  a (3) lim f(x) = f(a)

TIDAK KONTINU TAK HINGGA Fungsi f(x) disebut tidak kontinu tak hingga untuk x  a, yakni jika f(a) dan lim f(x) untuk x  a tidak terdefinisi. y = 9/(x-3)2

TIDAK KONTINU BERHINGGA Fungsi f(x) dikatakan tidak kontinu berhingga pada x = a jika f(x) terdefinisi tetapi berubah secara drastis pada x = a, yakni f(a) terdefinisi dan lim f(x) untuk x  a tidak terdefinisi. Nilai f(a) sama dengan salah satu limitnya. f(x) = 3/x, lim 3/x = -  x  0- lim 3/x = +  x  0+  limit kiri limit tidak sama dengan kanan jadi tidak terdefinisi

TIDAK KONTINU TITIK Fungsi f(x) dikatakan tidak kontinu titik pada x = a jika f(a) tidak terdefinisi tetapi limit f(x) untuk x  a terdefinisi. f(x) = (x2 – 4)/(x – 2) lim (x2 – 4)/(x - 2) = 4 x  2 f(2) = tidak terdefinisi

CONTOH PENERAPAN Andaikan pemerintah menetapkan sistem pajak pendapatan dengan ketentuan sbb.: 10% atas pendapatan dibawah Rp 2 juta per tahun 15% atas pendapatan antara Rp 2 – 5 juta per tahun 25% atas pendapatan diatas Rp 5 juta per tahun Bila pendapatan dilambangkan X dan jumlah pajak yang dibayarkan Y, maka fungsi pajak pendapatannya sbb.:

Perhatikan kurvanya tidak kontinu pada X = 1,99999 dan X = 5,000

SOAL-SOAL Tentukan limit fungsi-fungsi berikut ini :

SOAL-SOAL Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu atau tidak kontinu pada kedudukan x tertentu f(x) = 18x3 – 24x2 – 10x f(x) = (x2 – 49)/(x + 7) f(x) = 18/(x - 4)2 f(x) = 2x/(3 – x) f(x) = 5 e-x