PEMBANGKIT RANDOM VARIATE DISUSUN OLEH : IPHOV KUMALA SRIWANA

1. PEMBANGKIT RANDOM VARIATE DISKRIT Random variate yaitu nilai suatu random variabel yang mempunyai distribusi tertentu untuk mengambil random variate dari beberapa distribusi yang berbeda-beda fungsinya sehingga harus terlebih dahulu melalui distribusi CDF dari suatu random variabel.

DEFINISI Pengambilan random variate melalui CDF dikenal dengan istilah Inverse Transformation Method (Metode Invers Transformasi)

PROSEDUR UNTUK BANGKITKAN RANDOM VARIATE Untuk distribusi diskrit, prosedurnya adalah : Plot f(x). Cari CDF dari Random Variate X Pilihlah/generate, RN : Ri dari rumus Pseudo Random Number Generator dari komputer untuk 0 < Ri < 1 Tempatkan Random Number yang diperoleh pada f(x) axis dan memotong fungsi diskrit melalui garis horizontal

PROSEDUR UNTUK BANGKITKAN RANDOM VARIATE Untuk distribusi diskrit, prosedurnya adalah : Garis horizontal dari axis F(x) dapat memotong fungsi f(x) atau pada tempat yang tidak bersambung pada f(x) Menurunkan garis dari titik potong pada fungsi f(x) yang diskontinu pada sumbu x sehingga diperoleh nilai dari x adalah random variate dari F(x)

CONTOH 1: Diketahui suatu random variabel dinyatakan dengan f(x) sebagai berikut: X = Demand 10 20 30 40 F(x) = P(X=x) 1/8 1/4 1/2 1/16

CONTOH 1: Apabila random number yang ditarik dari komputer bernilai R1=8/16, maka titik potong dari fungsi diskrit yang non kontinu tersebut dapat diperoleh hasil pada sumber absis X=20, yang berarti random variate dari f(x) melalui kumulatifnya, f(x) diperoleh X=20

CDF CONTOH 1 F(x) = P(X=x) 1/8 1/4 1/2 1/16 F(x) 2/16 4/16 8/16 Tabel ini menunjukkan bahwa apabila random number yang diamati dari komputer dan kemudian disusun dalam suatu tabel diskrit distribusi akan diperoleh tabel seperti yang ada di hal.9

TABEL SIMULASI DARI TABEL DISKRIT DISTRIBUSI No. urut RN Demand X F(x) Tag Number Hasil RN di komputer 0.0937 0.125 0.000-0.125 0.6328 10 0.375 0.126-0.375 0.8750 20 0.875 0.376-0.875 0.4766 30 0.937 0.876-0.937 0.9063 40 0.999 0.938-0.999

KESIMPULAN Hasil dari kelima random number yang ditarik, angka yang terbaik adalah 20, sehingga : Demand = X = 20

2. PEMBANGKIT RANDOM VARIATE KONTINU Apabila R berada diantara nilai Ra dan Rb dengan simbol Ra < R< Rb, dapat dinyatakan : F(Xb) – F(Xa) = Rb – Ra, Dengan demikian, bila ingin membangkitkan random variate untuk nilai X maka akan ditransformasikan menjadi : F(X) = X2

PEMBANGKIT RANDOM VARIATE KONTINU F(X) = X2 (Asumsi F(X) = R), sehingga R = X2 atau X = √R Dalam hal ini, R tidak diketahui dan harus diambil dari random number, diproses melalui Pseudo RNG

CONTOH : X = √R GRN; (a = 19, Zo = 12357, C=237, m = 128) Ra = 00937, Rb = 0.4765

RANDOM NUMBER Berdasarkan perhitungan sebelumnya diketahui bahwa : Z1= 0.0937 X1 = √R = √0.0937=0.3062 Z2= 0.6328 X1 = √R = √0.6328=0.7955 Z3= 0.8750 X1 = √R = √0.8750=0.9354 Z4= 0.4766 X1 = √R = √0.4766=0.6903 Z5= 0.9063 X1 = √R = √0.9063=0.9520

RANDOM NUMBER Dengan demikian, dari generate random variate dengan fungsinya F(x) = X2 = R, diperoleh X yang optimal yaitu 0.7359 untuk 0<X<1

3. SIMULASI PADA PERMAINAN Contoh : Pelemparan Mata Uang Pelemparan Dadu dengan 6 mata dadu

3.1.PELEMPARAN MATA UANG Contoh : Dua orang A dan B bertanding melempar mata uang. Bila yang muncul lebih banyak Head/H, maka A menang dan sebaliknya. Mata uang yang digunakan pasti seimbang karena mempunyai dua muka yaitu H dan T, sehingga peluang menang : P(H)=0.5 atau P(T) = 0.5.

3.1.PELEMPARAN MATA UANG Dengan menggunakan random number generate dari distribusi uniform yang umum) untuk (0,1) interval, maka dapat ditentukan aturan permainan yang lebih konkrit, yaitu : Apabila: 0≤R≤0.5 maka hasilnya adalah H Apabila: 0.5≤R≤1.0 maka hasilnya adalah T

3.1.PELEMPARAN MATA UANG Dalam kesempatan ini, dilakukan pengambilan 10 kali random number. Untuk membangkitkan random number, digunakan Pseudo RNG Multiplicative, untuk : Z0=12357, a =7, c=0, m=7,

3.1.PELEMPARAN MATA UANG Z1 = (7x12357) mod 17 = 86499-86496=3 Zi+1 = (a . Z) mod.m Z1 = (7x12357) mod 17 = 86499-86496=3 R1 = 3/17=0.1765 (Muncul H) Z2 = (7x3) mod 17 = 21-17=4 R2 = 4/17=0.23594 (Muncul H)

3.1.PELEMPARAN MATA UANG Z3 = (7x4) mod 17 = 28-17=11 R3 = 11/17=0.6471 (Muncul T) Z4 = (7x11) mod 17 = 77-68=9 R4 = 9/17=0.5294 (Muncul T)

3.1.PELEMPARAN MATA UANG Z5 = (7x9) mod 17 = 63-51=12 R5 = 12/17=0.7059 (Muncul T) Z6 = (7x12) mod 17 = 84-68=16 R6 = 16/17=0.9412 (Muncul T)

3.1.PELEMPARAN MATA UANG Z7 = (7x16) mod 17 = 112-102=10 R5 = 10/17=0.5882 (Muncul T) Z8 = (7x10) mod 17 = 70-68=2 R8 = 2/17=0.11765 (Muncul H)

3.1.PELEMPARAN MATA UANG Z9 = (7x2) mod 17 = 14-17=3 R5 = 3/17=0.1765 (Muncul H) Z10 = (7x3) mod 17 = 21-17=4 R10 = 4/17=0.2353 (Muncul H)

KESIMPULAN Hasil akhir yang muncul H = 5 kali Hasil akhir yang muncul T = 5 kali Baik A maupun B tidka ada yang menang Kesempatan pemunculan H dan T adalah 50 : 50

3.2. PELEMPARAN DADU Tentukan bagian ditribusi dari output pelemparan dadu tersebut sehingga dapat digunakan untuk menentukan mata dadu melalui random number. Apabila dilakukan 10 percobaan pelemparan mata dadu atau penarikan random number, bagaimana hasilnya ?

3.2. PELEMPARAN DADU JAWAB : Diketahui pelemparan dadu dengan 6 muka. Catatan probabilitas distribusinya adalah : X 1 2 3 4 5 6 F(X) = P(x) 1/6 F(X) 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6

3.2. PELEMPARAN DADU Dari distribusi tersebut, dapat dinyatakan : X=1 maka 0 ≤ F(X) ≤ 1/6 X=2 maka 1/6 ≤ F(X) ≤ 2/6 X=3 maka 2/6 ≤ F(X) ≤ 3/6 X=4 maka 3/6 ≤ F(X) ≤ 4/6 X=5 maka 4/6 ≤ F(X) ≤ 5/6 X=6 maka 5/6 ≤ F(X) ≤ 1

3.2. PELEMPARAN DADU Catatan : Untuk nilai F(X) dicari dari Random Number. Misalkan digunakan random number yang sama yang dilakukan pada pelemparan koin, maka :

3.2. PELEMPARAN DADU R1 = 0.1765 diperoleh X = 2

KESIMPULAN Diperoleh hasil perincian pelemparan dadu beserta dengan outputnya, ternyata angka 2 yang banyak keluar.

4. DISKRET RANDOM NUMBER Ada beberapa kasus yang tidak perlu dicari interval yang tepat dari bilangan acak, sehingga variabel yang dihasilkan merupakan variabel yang acak dan uniform diskrit, sehingga digunakan : X = Int (n.U)+1 (X = bilangan acak, Int = Integer, U = Random Number, n = Bilangan 1,2,3,…)

4. DISKRET RANDOM NUMBER Pebangkitan variabel acak diskrit seperti yang telah disebutkan di halaman 32, sangat penting dalam simulasi yang digunakan untuk berbagai persoalan distribusi diskrit yang belum diketahui. Pembahasan lebih lengkap, pada simulasi diskrit