INTERPOLASI DAN PENGHAMPIRAN PENGENALAN RUMUS BEDA DEPAN NEWTON RUMUS BEDA BELAKANG NEWTON RUMUS BEDA TIDAK SAMA NEWTON RUMUS LAGRANGE PENDEKAAN KUADRAT DUA TERKECIL

Data diuji juga kadangkala mempunyai beda yg tidak sama Dengan itu aturan Newton beda Depan dan Newton beda Belakang tidak dapat digunakan. Bagaimana menyelesaikannya??? Aturanh yg digunakan ialah: Interpolasi Lagrange/Rumus Lagrange Interpolasi Newton beda Terbagi

INTERPOLASI LAGRANGE Dikenali dgn tanda Li(x) yaitu metoda Lagrange Polinomial interpolasinya bergantung kepada bilangan titik yang diambil yaitu dengan atau dapat ditulis sbg Pn(x) = L0(x)y0 + L1(x)y1 + L2(x)y2 + … + Ln(x)yn =  Li(x)yi Hubungan pengali Interpolasi Lagrange

Polinomial Interpolasi Lagrange dengan Contoh:

contoh K 0 1 2 Xk 2 3 4 Yk 1.4142 1.7321 2 Cari y(2.5) L0(2.5) = (x-x1)(x-x2) = (2.5-3.0)(2.5-4.0) = 0.3750 (x0-x1)(x0-x2) (2.0-3.0)(2.0-4.0) L1(2.5) = (x-x0)(x-x2) = (2.5-2.0)(2.5-4.0) = 0.7500 (x1-x2)(x1-x0) (3.0-4.0)(3.0-2.0) L2(2.5) = (x-x0)(x-x1) = (2.5-2.0)(2.5-3.0) = -0.125 (x2-x0)(x2-x1) (4.0-2.0)(4.0-3.0) P2(2.5) = (1.4142)(0.3750)+(1.7321)(0.7500)+(2.0)(-0.125) = 1.5794

Interpretasi Grafis Polynomials Lagrange L2f(x2) L0f(x0) L1f(x1)

INTERPOLASI NEWTON BEDA TERBAGI Kelemahan Interpolasi Lagrange: Orde polinomial mestilah dipilih terlebih dahulu Jika orde polinomial besar, maka pengiraan lebih rumit dgn bertambahnya operasi perkalian yaitu untuk mengira atau menafsir Li(x) Pertukaran orde melibatkan tafsiran Li(x) yg berbeda sama sekali Oleh itu operasi Lagrange perlu digunakan dengan berhati-hati Bagi mengatasi masalah di atas aturan Interpolasi Newton beda Terbagi dapat digunakan

PENDEKATAN DUA KUADRAT TERKECIL Mengapa kita guna??? Untuk mencari derat polinomial dengan diberi satu tabel yg mengandung set data. (cth: (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2),…, (xn,yn)) penghampiran yg diperlukan untuk f(x) @ Yn Bentuk pendekatan menjadi minimum

Apabila dikembangkan: serta di bedakan terhadap aj: Dapat ditulis dlm betuk : A

Btk A dapat ditukarkan kpd btk SPL: dgn utk mendptkan pekali a0,a1,…,am menggunakan teknik di dlm SPL

contoh Dapatkan suatu polinomial linear p(x) = a0 + a1x yg dapat yang sesuai dengan data berikut K 0 1 2 3 4 xk 1 3 4 5 8 fk 5 9 11 13 19 Kita memerlukan SPL s0 s1 s1 s2 a0 a1 v0 v1 = å 4 s = x j , j = , 1 , 2 j k k = 4 å v = x l f , l = , 1 , j k k k =

contoh Tafsirkan K Xk0 xk1 xk2 xk0fk xk1fk 0 1 1 1 5 5 1 1 3 9 9 27 0 1 1 1 5 5 1 1 3 9 9 27 2 1 4 16 11 44 3 1 5 25 13 65 4 1 8 64 19 152 Jum 15 21 115 57 293 S0 = 15 s1=21 s2=115 v1=57 v2=293 15 21 21 115 a0 a1 57 293 =

contoh Selesaikan diperolehi a0=3.0, a1 = 2.0 Maka polinomialnya ialah p(x) = 2.0x+3.0 Polinomial ini dapat digunakan utk mencari nilai f(x) Contoh: Dapatkan nilai f(x) jika x = 2 P(2) = 2.0(2) + 3.0 = 7.0 Dapatkan nilai f(x) jika x = 8 P(2) = 2.0(8) + 3.0 = 19

Keduanya tidak ekuivalen dalam hal keakuratan interpolasi! Interpolasi Inverse x Interpolated point of (xc, f(xc)) Interpolated curve true curve fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn interpolasi yc = fn(xc) Bagimana inverse-nya: fn(y) = a0 + a1y + a2y2 + … + anyn interpolasi xc = fn(yc) Keduanya tidak ekuivalen dalam hal keakuratan interpolasi!

Extrapolasi Hasil interpolasi yang paling akurat bisanya diperoleh ketika yang tidak diketahui berada dekat di tengah-tengah titik basis! Untuk ekstrapolasi, yang tidak diketahui berada di luar jangkauan titik basis; jadi perlu perhatian lebih!

Masalah-2 dalam Interpolasi Polinomial Derajat interpolasi polinomial sama dengan jumlah-n titik data. Jadi jika n=1000 titik data, maka kita akan mempunyai polinomial orde-1000 Polinomial berorde tinggi (saat n > 5) dapat menampakkan ciri erratik dan sangat rentan dengan instabilitas numerik. Polinomial berorde tinggi seringkali menginterpolasi titik diluar jangkauan titik data yang tepat karena adanya overshoot.

Interpolasi Spline Ide: Gunakan polinomial orde rendah (k ≤ 3) untuk menginterpolasi sekumpulan data titik dan hubungkan polinomial interolsai ini dengan halus Papan Drafting: menggunakan tali yang tipis dan fleksibel (disebut spline)untuk menggambarkan kurva yang halus melalui sekumpulan titik.Tiap bagian interpolasi akhir melengkung antar 2 titik yang berdekatan Titik data adalah polinomial derajat 3 Contoh

Interpolasi Spline Kuadratis Diketahui: n+1 Titik data (xi, yi) untuk i=0,1,…,n Ditanya: polynomials derajat-2 n fi(x) = aix2 + bix + ci sedemikian sehingga 1. fi(x) menginterpolasi dua titik (xi-1, yi-1) dan (xi, yi), dan 2. fi(x) dan fi-1(x) punya turunan yang sama pada xi-1.

Turunan Quadratic Spline fi-1(xi-1) = ai-1xi-12 + bi-1xi-1 + ci-1 = yi-1 fi(xi-1) = aixi-12 + bixi-1 + ci = yi-1 2n – 2 persamaan 2. f1(x0) = a1x02 + b1x0 + c1 = y0 fn(xn) = anxn2 + bnxn + cn = yn 2 persamaan (the 1st derivative at the interior knots must be equal) fi-1’(xi-1) = 2ai-1xi-1 + bi-1 = 2aixi-1 + bi = fi’(xi-1) n– 1 persamaan