Ekspansi Kofaktor dan Aturan Cramer Dosen pengampu : novi elfira S.Pd ALJABAR LINIER Ekspansi Kofaktor dan Aturan Cramer Dosen pengampu : novi elfira S.Pd

Kelompok VIII Irwan Puja Kesuma Feni Ariza Anugrah Puji Astuti

Dengan ekspansi kofaktor, hitung determinan : B = Andaikan dilakukan ekspansi melalui baris kedua : Det(B) = b21 C21 + b22 C22 + b23 C23 C21 = - M21 = - = 9 Det(B) = (3)(9) + (1)(3) + (-1) (-3) C22 = M22 = 3 Det(B) = 33 C23 = - M23 = - 3 Atau jika dikerjakan dengan ekspansi melalui kolom ketiga : Det(B) = b13 C13 + b23 C23 + b33 C33 C13 = M13 = 2 Det(B) = (1)(2) + (-1)(-3) + (4)(7) C23 = - M23 = - 3 Det(B) = 33 C33 = M33 = 7

Strategi menghitung determinan : 1. Gunakan kombinasi beberapa metode (definisi, sifat, ekspansi kofaktor). 2. Pilih ekspansi melalui baris atau kolom yang paling sederhana. 3. Gunakan sifat ke 8 untuk membuat unsur-unsur pada baris/kolom yang dipilih sebanyak mungkin menjadi nol. 4. Ulangai langkah 1, dan seterusnya.

Hitung determinan dari : E = Dikerjakan dengan ekspansi melalui baris ke dua : K2 + K1 K3 – K1 |E| = |E| = e21 C21 + e22 C22 + e23 C23 |E| = e21 C21 + 0 + 0 C21 = - M21 = - {(3)(-7) – (-5)(9)} = - 24 |E| = (1) (-24) = - 24

Berapakah determinan dari F = Dipilih ekspansi melalui kolom pertama : B3 + B1 |F| = Det(F) = f11 C11 = (1) (6) = 6

Berapakah determinan dari G = Dipilih ekspansi melalui kolom ke tiga : B2 + B1 B3+B1 Det(G) = B3 – B2 Det(G) = g13 C13 = g13 M13 = (-1) (-1) Det(G) = (-1) g21 C21 = (-1) g21 (- M21) = g21 M21 = (3) {(4)(-5) – (7)(-5)} Det(G) = (3) (15) = 45.

Matriks kofaktor : Matriks yang anggota-anggotanya berupa kofaktor suatu matriks. C21 = - M21 = - 2 C11 = M11 = -5 A = C22 = M22 = 3 C12 = - M12 = - 4 Jadi matriks kofaktor dari A adalah : K = = Matriks adjoint : Transpose dari matriks kofaktor. Adj (A) = KT = =

Hitung (a) adjoint dari matriks A, (b) determinan matriks A C21 = -M21 = 4 C31 = M31 = -1 C11 = M11 = 2 A = C32 = -M32 = 7 C12 = -M12 = - 5 C22 = M22 = -1 C33 = M33 = 5 C23 = -M23 = -2 C13 = M13 = - 1 = = (a) adj(A) = KT = (b) Det(A) = a11 C11 + a12 C12 + a13 c13 = (1)(2) + (-2)(-5) + (3)(-1) = 9 A adj(A) = ? = |A| I = = 9

Adj(A) A = ? = = 9 = |A| I Sifat : A adj(A) = adj(A) A = det(A) I 2. adj(AB) = adj(B) adj(A)

Aturan Cramer Jika determinan D = det X dari sebuah sistem n buah persamaan linier. a11x1 + a12x2 + ......... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ......... + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + ......... + annxn = bn Syarat untuk mempunyai suatu penyelesaian tunggal, tidak ada penyelesaian dan mempunyai banyak tak terhingga penyelesaian ditentukan dengan nilai det (A) seperti pada sistem persamaan dengan 2 variabel.

Nilai variabel x = det(Ax) / det (A), y = det(Ay)/det(A) , z = det(Az)/det(A) Teorema-teorema yang harus diperhatikan dalam penggunaan aturan Cramer : jika A adalah sebuah matriks bujursangkar yang mengandung paling sedikit satu baris bilangan no, maka det(A) = 0 jika A adalah sebuah matriks segitiga yang berukuran n x n maka determinan A adalah ahsil perkalian semua unsur pada kolom utama jika sebuah matriks bujursangkar mempunyai dua baris yang sebanding maka nilai determinan matriks tersebut sama dengan nol.

Penggunaan aturan Cramer pada persamaan di bawah ini : x+y+z=0(I) 2x+5y+3z=1(II) -x+2y+z=2(III) =  Det (A) 3

Hasil Akhir Dengan demikian x = -1; y = 0; z = 1