Kelas 1.C Nina Ariani Juarna Ghia Mugia Wilujeng Faujiah Lulu Kamilah

Refleksi dan Rotasi Refleksi Rotasi Latihan Soal Jawaban soal

Refleksi Transformasi pencerminan/refleksi menghasilkan bayangan yang tergantung pada acuannya. Refleksi terhadap garis y=k Refleksi terhadap sumbu x Refleksi terhadap sumbu y Refleksi terhadap garis y=x Refeksi terhadap titik (0,0) Refleksi terhadap garis y = - x Refleksi terhadap garis y=h

Refleksi terhadap sumbu x Refleksi titik A (a, c) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan yaitu A’(a’, c’), demikian juga untuk titik B dan titik C. Diperoleh persamaan bahwa : a’ = a, b’ = b, c’= -c dan seterusnya sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :

Refleksi terhadap sumbu x Refleksi ditulis dengan notasi : A(a,c) A’(a, -c) Dengan notasi matriks :

Refleksi terhadap sumbu y Sama seperti refleksi terhadap sumbu x menghasilkan persamaan a’= - a, b’ = - b dan c’ = c dan seterusnya. sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :

Refleksi terhadap sumbu y Refleksi ditulis dengan notasi : A(a,c) A’(-a, c) Dengan notasi matriks :

Refleksi terhadap titik asal Menghasilkan persamaan : a’= - a, dan c’ = -c, b’= - b, dan c’ = -c, d’= - d, dan c’ = -c, sehingga persamaan matriks Transformasinya :

Refleksi terhadap titik asal Refleksi ditulis dengan notasi : A(a,c) A’(-a, -c) Dengan notasi matriks :

Refleksi terhadap garis y=x Menghasilkan persamaan : a’= c, dan c’ = a, b’= c, dan c’’ = b, d’= e, dan e’ = d dan seterusnya sehingga persamaan Matriks transformasinya :

Refleksi terhadap garis y=x Refleksi ditulis dengan notasi : A(a,c) A’(c,a) Dengan notasi matriks :

Refleksi terhadap garis y=-x Menghasilkan persamaan : a’= -c, dan c’ = -a, b’= -c, dan c’’ = -b, d’= -e, dan e’ = -d dan seterusnya, sehingga persamaan matriks transformasinya adalah

Refleksi terhadap garis y=-x Refleksi ditulis dengan notasi : A(a,c) A’(-c,-a) Dengan notasi matriks :

Refleksi terhadap garis y=h Sumbu x digeser sejauh h, menghasilkan persamaan : a’= a, dan c’ = 2h-c, b’= b, dan c’ = 2h-c, d’= d, dan e’ = 2h-e, sehingga notasi persamaan matriks transformasinya :

Bukti : Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x yang baru adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x’, y’) dengan : Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang baru menjadi : Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x semula dengan memakai translasi diperoleh:

Refleksi terhadap garis y = k Sekarang yang digeser adalah sumbu y sejauh k, menghasilkan persamaan : a’= 2k-a, dan c’ = c, b’= 2k-b, dan c’ = c, d’= 2k-d, dan e’ = e, sehingga notasinya : A(a,c) A’(2k-a,c) Dengan notasi Matriks :

Rotasi x’ = x cos() - y sin() y’ = x sin() + y cos()  Rotasi adalah perpindahan obyek dari titik P ke titik P’, dengan cara diputar dengan sudut  x y P(x,y) P’(x’,y’)  x’ = x cos() - y sin() y’ = x sin() + y cos()

Untuk memudahkan perhitungan, maka dibuat notasi dalam bentuk matrik : dengan : - sin θ dan cos θ adalah fungsi linier dari θ x’ kombinasi linier dari x dan y y’ kombinasi linier dari x dan y

Bukti : Titik A berpindah ke titik A’ sejauh α. Dalam koordinat kutub, titik A(a,b) ditulis : A(r cos θ, r sin θ). Sedangkan A’(a’,b’) ditulis : A’(r cos (θ + α), r sin (θ + α)). Maka, diperoleh : Matrik transformasi untuk titik yang dirotasi terhadap titik pusat O (0,0)

Koordinat Homogen Koordinat homogen adalah representasi koordinat 2 dimensi dengan 3 vektor Koordinat homogen

Latihan Soal Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan titik sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika direfleksikan terhadap sumbu-x, kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu-y ! Gambar di bawah ini dilakukan dilatasi dengan faktor k = 2. Carilah titik-titik A’, B’ C’ dan D’ !

Latihan Soal 3. Garis g = 2x-y+1=0 direfleksikan terhadap garis x=2 kemudian direfleksikan kembali terhadap garis y=-2. Maka hasil refleksinya adalah… 4. Garis g=2x-y+1=0 direfleksikan terhadap garis x=-1 kemudian direfleksikan kembali terhadap garis x=2. Maka hasil refleksinya adalah.. 5. Kurva y=x2-3x-10 dicerminkan terhadap sumbu x kemudian diputar dengan R(0,90 ). Tentukan peta dari kurva tersebut! 6. Persamaan bayangan garis 2y-5x-10=0 oleh R(0,90⁰). Dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y=-x, adalah…

Latihan Soal 7. Persamaan bayangan garis x-2y+4=0 yang dirotasikan dengan pusat O (0,0) sejauh 90⁰. Dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y=x adalah…. 8. Bayangan garis 3x-y+2=0 apabila dicerminkan terhadap garis y=x dilanjutkan dengan rotasi terhadap O (0,0) sebesar radian adalah… 9. Persamaan bayangan garis 2x – 5y – 7 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks dilanjutkan dengan rotasi searah jarum jam dengan pusat O sejauh 90⁰… 10. Garis dengan persamaan 2x-y-6=0 dicerminkan terhadap garis y=x dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuain dengan matriks . Persamaan bayangannya adalah…

Jawaban No. 1 Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua tahap yaitu mencari bayangan jajaran-genjang ABCD dari refleksi terhadap sumbu-x, kemudian bayangan yang terjadi direfleksikan terhadap sumbu-y. Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :

Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada

Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’ dengan titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-11).

Jawaban No. 2 Transformasi dapat dilakukan dengan : Jadi hasil dilatasi terhadap titik O(0,0): A’(4,6), B’(10,6), C’(12,10), D’ (6,10)

Jawaban No. 3 g=2x-y+1=0 g’=… g(x,y) g’=(2.2-x, 2.(-2)-y) g’=(4-x, -4-y) x’= 4-x → x=4-x’ y’=-4-y → y=-4-y’ g’=2.(4-x’)-(-4-y’)+1=0 g’= 8-2x’+4+y’+1=0 g’=-2x’+y’+13=0 g’=-2x+y+13=0

Jawaban No. 4 g=2x-y+1=0 g’=… g(x,y) g’=(2.(2+1)+x, y) g’=(6+x, y) x’= 6+x → x=x’-6 y’=y → y=y’ g’=2.(x’-6)-y’+1=0 g’= 2x’-12-y’+1=0 g’=2x’-y’-11=0 g’=2x-y-11=0

Jawaban No.5 y=x2-3x-10 (x’,y’) x’=y y’=x x’=(y’)2 – 3y’ – 10 x=y2 – 3y – 10

Jawaban No.6 2y-5x-10=0 (x’,y’) x’=-x → x= - x’ y’=y 2y’ – 5 (-x’) – 10=0 2y’ + 5x’ – 10 = 0 2y + 5x – 10 = 0

Jawaban No. 7 x-2y+4=0 (x’,y’) x’=x y’=y → y = - y’ x’ – 2 (- y’) + 4 = 0 x’ + 2y’ + 4 = 0 x + 2y + 4 = 0

Jawaban No. 8 3x – y + 2 =0 (x’,y’) x’= - x → x = - x’ y’= y 3 (-x’) – y + 2 =0 -3x’ – y + 2 = 0 - 3x – y + 2 = 0

Jawaban No. 9 2x-5y-7=0 (x’,y’) x’=-x+2y ... (i) eliminasikan (i) dan (ii) y’=-x + y … (ii) x’=-x+2y y’=-x + y x’-y’ = y

Substitusikan y= x’-y’ ke persamaan 2x-5y-7=0 2 x’ – 5 (x’-y’ ) – 7 = 0 2x’ – 5x’ + 5y’ -7 = 0 -3x’ + 5y’ – 7 = 0 Kalikan dengan (-1) 3x’ – 5y’ + 7 = 0

Jawaban No. 10 2x – y + 6 = 0 (x’,y’) x’= x + 2y …. (i) Eliminasikan (i) dan (ii) y’= - y …… (ii) x’ = x+2y x1 x’ = x+2y y’ = -y x2 2y’= -2y x’+2y’= x

Substitusikan x=x’+2y’ ke persamaan 2x – y + 6 = 0 2(x’+2y’) - y’+ 6=0 2x’ + 4y’ – y’ + 6 = 0 2x’ + 3y’ + 6 = 0 2x + 3y + 6 = 0

Thank’s For Your Attention