1 MATRIKS JENIS MATRIKS MATRIKS TRANSPOSE OPERASI MATRIKS DETERMINAN MATRIKS INVERS MATRIKS APLIKASI MATRIKS SUPRIANTO, S.Si., M.Si., Apt.

2 NAMADESKRIPSI Contoh Matriks BarisMatriks hanya dengan satu baris Matriks Kolom Matriks hanya dengan satu kolom Matriks Bujursangkar Matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama Matriks NolMatriks yang semua elemennya nol TIPE MATRIKS

3 Matriks Transpose Definisi: Transpose mariks A adalah matriks A T dengan kolom- kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A A = A T = A’ = [A T ] mxn = [A] nxm Sifat-sifat transpose matriks 1.Transpose dari A transpose adalah A: (A T ) T = A 2. (A+B) T = A T + B T 3.(kA) T = k(A) T 4.(AB) T = B T A T

4 OPERASI MATRIKS Penambahan dan Pengurangan Matriks Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan dan dikurangkan Contoh :

5  Hasil kali skalar dengan matriks A = 5A = = 5x5 5x7 5x6 5x2 5x1 5x Definisi: Jika matriks A berukuran m x r dan B berukuran r x n, maka matriks hasil kali A dan B menjadi AB mempunyai elemen-elemen yang didefinisikan sebagai berikut: Perkalian matriks dengan matriks ABAB m x r r x nm x n = x

6 Contoh : A xB = = A = B = BxA = tidak dapat didefinisikan

7 Matriks A = [a ij ] adalah matriks nxn, dan misalkan M adalah matriks (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan menghapus baris ke i dan kolom ke j pada matriks A. Determinan dari M disebut minor dari a ij (selanjutnya ditulis M ij ). Sedangkan c ij adalah kofaktor a ij dan didefinisikan sebagai: MINOR dan Kofaktor Matriks c ij = (-1) i+j det M ij

8 Contoh : A =A = Tentukan minor dan kofaktor dari a 11 dan a 12 ! Penyelesaian: A =A = M 11 = = 3.5 – 7.4 = – A =A = M 12 = = 5.5 – 4.4 = 9 c 11 = (-1) 1+1 (-13) = - 13 c 12 = (-1) 1+2 (9) = - 9

9 Adjoin Matriks c ij adalah kofaktor dari a ij Jika terdapat matirks A = [a ij ], maka a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 A =A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Ajoin A = T a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 =

10 Sifat-sifat determinan i.Setiap matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama atau det A = det A T ii.Jika terdapat matriks A dan matriks B, maka berlaku det(AB)=det (A) det (B) iii.Determinan dari matriks segitiga adalah perkalian dari diagonalnya. det (A) = (a 11.a 22 ) a 11 0 a 21 a 22 = a 11 a 12 0 a 22 (A) =

11 iv)Jika matriks B adalah matriks yang didapat dari mempertukarkan dua buah baris matriks A, maka determinan matriks B berlawanan dengan determinan matriks A Sifat-sifat determinan B= B= a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 A = det (A) = - det (B)

12 v) Jika matriks dan c adalah konstanta, maka a 11 a 12 a 21 a 22 A = a 11 a 12 a 21 a 22 a) c c.a 11 c.a 12 a 21 a 22 = a 11 a 12 c.a 21 c.a 22 = a 11 a 12 a 21 a 22 b) a 11 + c.a 21 a 12 +c.a 22 a 21 a 22 = a 11 a 12 a 21 + c.a 11 a 22 +c.a 12 = vi)Jika seluruh elemen dari salah satu baris suatu matriks sama dengan nol, maka determinan matriks tersebut sama dengan nol. det (A) = o a 11 a a 21 a 22 = A =

13 1. Determinan dengan Aturan Sarrus a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 det (A) = (a 11.a 22) – (a 12.a 21 ) + - a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 A 2 = det (A) = (a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 13.a 21.a 32 )– (a 13.a 22.a 31 + a 11.a 23.a 32 + a 12.a 21.a 33 ) det = Determinan matriks A 1 = Determinan matriks

14 Secara umum untuk menghitung determinan dari matriks orde n x n adalah sebagai berikut. Jika A adalah matriks persegi n x n, maka determinan dari matriks A adalah det A = a i1. c i1 + a i2. c i a in. c in ( i = 1,2,3,...., atau n) det A = a 1j. c 1j + a 2j. c 2j a nj. c nj ( j = 1,2,3,...., atau n) 2. Determinan dengan Aturan KOFAKTOR Determinan matriks n x n a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 A=A= c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33 C =C = c ij = (-1) i+j det M ij

Tentukan determinan dari: Contoh: A =A = Penyelesaian: Karena A adaah matriks 3 x 3, maka nilai i diambil antara 1, 2, atau 3. det A = a i1. c i1 + a i2. c i2 + a i3. c i3 a 11 = -4, a 12 = 1; a 13 = 5 c ij = (-1) i+j det M ij Determinan matriks n x n

16 det A =( – 4)(2)+(1)(9)+(5)( – 6) = –8 + 9 – 30 = – A =A = c ij = (-1) i+j det M ij c 11 = (-1) 1+1 = (1)(2.7 – 4.3) = A =A = c 12 = (-1) 1+2 = (-1)(0.7 – 3.3) = A =A = c 13 = (-1) 1+3 = (1)(0.4 – 3.2) = -6 det A = a 11.c 11 +a 12.c 12 +a 13.c 13 a 11 = -4, a 12 = 1; a 13 = 5 Determinan matriks n x n

17 3. Determinan dengan mereduksi baris Menghitung determinan dengan reduksi baris adalah mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris atau matriks segitiga dengan menerapkan sifat-sifat determinan A =A = Contoh:Tentukan determinan dari matriks berikut dengan cara reduksi baris Determinan matriks n x n

18 Penyelesaian: R 3 – 3R 1 R 3 – 19/8R det ( A) = 1 -1/4 -5/ = (-4) 1 -1/4 -5/ /4 43/4 = (-4) 1 -1/4 -5/ /8 = (-4) = (-4) (1) (2)(29/8) = -29 Determinan matriks n x n

19 INVERS MATRIKS Matriks A: Determinan A: det (A) = ad - bc a b c d A = Invers matriks A: Contoh : Tentukan invers matriks berikut : A = A -1 = 1 ad - bc A -1 = d -b -c a 1 (-2.17) – (-7.5) A -1 = ad - bc A -1 = d -b -c a Dimana: ad – bc  0 1. Metode Sarus

20 2. Metode Adjoin Matriks Jika matriks A adalah matriks yang dapat dibalik, maka 1 det (A) A -1 = A adj Contoh : Jika A =, tentukan A -1 INVERS MATRIKS nxn

21 Penyelesaian: A =A = c 11 = (-1) 1+1 = (1)(4 – 0) = c 12 = (-1) 1+2 = (-1)(8 – 6) = c 13 = (-1) 1+3 = (1)(0 – 3) = c 21 = (-1) 2+1 = (-1)(-8 – 0) = 8 INVERS MATRIKS nxn c ij = (-1) i+j det M ij

c 22 = (-1) 2+2 = (1)(12 – 15) = A =A = c 23 = (-1) 2+3 = (-1)(0 –(-6) = c 31 = (-1) 3+1 = (1)(-4) –(5) = c 32 = (-1) 3+2 = (-1)(6 –10) = c 33 = (-1) 3+3 = (1)(3 –(-4) = 7 INVERS MATRIKS nxn c ij = (-1) i+j det M ij

Adjoin A = T = det (A) =(3)(4)+(-2)(-2)+(5)(-3) = = A =A = c =c = INVERS MATRIKS nxn

24 INVERS MATRIKS nxn 1 det (A) A -1 = A adj = Adjoin A A -1 = det (A) = 1

25 3. Operasi baris elementer (OBE) INVERS MATRIKS nxn Untuk menentukan balikan (invers) dari matriks A yang dapat dibalik dengan menggunakan metode Operasi Baris Elementer, kita harus melakukan sejumlah operasi baris elementer untuk mereduksi A menjadi matriks identitas dan melakukan opersi yang sama terhadap I n untuk memperoleh A -1. Langkah penyelesaian 1.Gabungkan matriks identitas ke sebelah kanan A [ A | I ] 2. Lakukan operasi baris elementer, sehingga [ A | I ]menjadi [ I | A -1 ]

26 INVERS MATRIKS nxn Tentukan balikan dari matriks berikut dengan menggunakan operasi baris elementer. Contoh : Penyelesaian 1/3 R A =A = (A)(I) = /3 5/ = 1/ R 2 –2R 1 R 3 –3R 1

27 INVERS MATRIKS nxn 1 -2/3 5/3 0 7/3 -4/ (A)(I) = 1/ / /7 R 2 R 1 + 2/3R 2 R 3 – 2R /3 5/ / = 1/ /7 3/ / / /7 = 1/7 2/7 0 -2/7 3/7 0 -3/7 -6/7 1 7R 3

28 INVERS MATRIKS nxn 1 0 9/ / (a)(I)= 1/7 2/7 0 -2/7 3/ R 1 – 9/7R 3 R 2 + 4/7R = Maka A -1 =

29 APLIKASI MATRIKS nxn 1. Aturan Cramer dapat digunakan untuk penyelesaian 3 x 3 system. ax + by + cz = j dx + ey + fz = k gx + hy + iz = l det (A) X = j b c k e f l h i det (A) y = a j c d k f g l i det (A) z = a b j d e k g h l a b c d e f g h i A =A = det (A) X k = det (A k ) k = 1,2,3,……,n

30 APLIKASI MATRIKS nxn Contoh : Selesaikan SPL berikut ! – det (A) = = 4 – – 4 = – det (A 1 ) = = 40 – = -280 Penyelesaian : – det (A 2 ) = = -40 – = – det (A 3 ) = = 44 – 48 – = x 1 + 8x 2 + 6x 3 = 20 4x 1 + 2x 2 – 2x 3 = -2 3x 1 - x 2 + x 3 = 11

31 APLIKASI MATRIKS nxn det (A) X k = det (A k ) det (A) X1=X1= det (A 1 ) -140 X 1 = = det (A) X2=X2= det (A 2 ) -140 X 2 = = det (A) X3=X3= det (A 3 ) -140 X 3 = =

32 APLIKASI MATRIKS nxn 2. Menggunakan invers matriks Bila Det(A)≠ 0, maka A -1 ada AX = B A -1.AX = A -1.B Jadi : X = A -1 penyelesaian sistem ini. Catatan : Bila m=n dan Det(A) = 0, maka sistemnya mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian. Contoh : selesaikan SPL berikut dengan menggunakan invers matriks ! 2x 1 + 8x 2 + 6x 3 = 20 4x 1 + 2x 2 – 2x 3 = -2 3x 1 - x 2 + x 3 = 11

33 APLIKASI MATRIKS nxn Penyelesaian: A =A = c 11 = (-1) 1+1 = (1)(2 – 2) = c 12 = (-1) 1+2 = (-1)(4 + 6) = c 13 = (-1) 1+3 = (1)(-4 – 6) = c 21 = (-1) 2+1 = (-1)(8 +6) = -14 c ij = (-1) i+j det M ij

c 22 = (-1) 2+2 = (1)(2 – 18) = A =A = c 23 = (-1) 2+3 = (-1)(-2 –24) = c 31 = (-1) 3+1 = (1)(-16 –12) = c 32 = (-1) 3+2 = (-1)(-4 –24) = c 33 = (-1) 3+3 = (1)(4 –32) = -28 c ij = (-1) i+j det M ij APLIKASI MATRIKS nxn

A =A = c =c = det (A) =(2)(0)+(8)(-10)+(6)(-10) = = cT =cT = T Matriks Adjoint (A): = 1 det (A) A -1 = A adj A -1 = APLIKASI MATRIKS nxn

36 2x 1 + 8x 2 + 6x 3 = 20 4x 1 + 2x 2 – 2x 3 = -2 3x 1 - x 2 + x 3 = x 1 x 2 x A X = B X = A -1.B x 1 x 2 x 3 = x 1 x 2 x 3 = x 1 x 2 x (-14)(-2)+(-28) (-16)(-2) (-2)+(-28)11 = APLIKASI MATRIKS nxn